Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Fórum: "ujjgyakorlatok"

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]  

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.
[208] Gubbubu2004-11-17 22:38:15

Addig is egy új szellemes kis feladat, amiből (többek közt) ma zéháztam: 60. feladat Az a,b,c>0 egész számokra teljesül

(a,b)=(b,c)=(c,a)

és

[a,b]=[b,c]=[c,a]

.

(azaz lnko-ik és lkkt-ik páronként egyenlőek).

Igazoljuk, hogy a=b=c !

[207] Gubbubu2004-11-17 22:29:37

Aha... kösz, hogy szólsz, megnézem, hogy elszámoltam-e vagy elírtam-e valamit.

Előzmény: [204] nadorp, 2004-11-10 13:31:48
[206] Gubbubu2004-11-17 22:28:33

Igen, az a trükk, hogy a szélső tényezőket kell egymással szorozni (az elsőt a hatodikkal, a másodikat az ötödikkel, a harmadikat a negyedikkel), ekkor szinte azonos másodfokú polinomok szorzatát kapjuk, ami új változó bevezetésével szép harmadfokú egyenletté redukálható - mely utóbbit pl. "racionális gyökteszttel" lehet megoldani megfelelő n-ekre.

Köszönöm a megoldásokat.

Előzmény: [198] lorantfy, 2004-11-09 09:30:55
[205] lorantfy2004-11-10 23:30:04

Kedves Károly!

Ügyes kis példa, de egy prímszám tábla nem árt hozzá: itt

59. feladat megoldása: A bal oldalból (p-q) kiemelhető, a 83805 minden osztója páratlan. Két prímszám különbsége csak akkor lehet páratlan, ha egyik 2.

Tehát q=2. Ezt visszaírva:

p(1+p+p3)=83827=17.4931

Ebből p=17 és 1+p+p3 pont 4931 lesz.

Előzmény: [202] Hajba Károly, 2004-11-10 08:10:13
[204] nadorp2004-11-10 13:31:48

Kedves Gubbubu !

Az 56. példát valahogy nem értem, mert nem igaz pld szabályos háromszögre, ui. legyen a=b=c. Ekkor szerinted

\frac{2}{3\sqrt3a}\leq\frac{27}{16}a, ami nyilván nem igaz minden a-ra.

Előzmény: [191] Gubbubu, 2004-10-08 09:48:03
[203] lorantfy2004-11-10 10:01:43

Kedves Károly!

Kösz a megoldást! Valóban ennyi az egész.

Előzmény: [201] Hajba Károly, 2004-11-10 07:59:11
[202] Hajba Károly2004-11-10 08:10:13

59. feladat:

Oldjuk meg az alábbi egyenletet, ha p és q prímek:

p+p2+p4-q-q2-q4=83.805

HK

[201] Hajba Károly2004-11-10 07:59:11

57. feladathoz:

mAB+mCD=mBc+mDA=1

Azaz egy-egy pont a háromszögeket két egyenlő összterületű részre bontja, s mivel kilenc egyforma területet nem lehet két egyenlő részre bontani, így ilyen elrendezést sem fogunk tudni találni.

HK

Előzmény: [195] lorantfy, 2004-11-09 08:45:18
[200] Hajba Károly2004-11-09 09:48:05

Kedves KL!

Valóban. Az otthoni vázlatomból rossz sort másoltam ide. Köszi a Kemény-féle kritikát. :o)

HK

Előzmény: [199] Kemény Legény, 2004-11-09 09:38:18
[199] Kemény Legény2004-11-09 09:38:18

Kedves Onogur!Szerintem az A számod nem (x-3)(x-4) hanem (x-2)(x-5)=x*x-7x+10,ekkor a további folytatás jó.(Bár a megoldásokat nem ellenöriztem le..)

Előzmény: [197] Hajba Károly, 2004-11-09 08:59:01
[198] lorantfy2004-11-09 09:30:55

Kedves Károly!

Köszönöm! Hát erről van szó. Ha megfelelően párosítjuk a szorzótényezőket az x-ek száma megegyezik, csak konstansban különböznek. Így biztos 3-ad fokú lesz belőle, ami megfelelő n-ekre szépen szorzattá alakítható.

Előzmény: [197] Hajba Károly, 2004-11-09 08:59:01
[197] Hajba Károly2004-11-09 08:59:01

Egy kis zárójel lemaradt.

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+16=0

A=(x-3)(x-4)=x2-7x+10

(A-4)A(A+2)+16=0

A3-2A2-8A+16=0

(A-2\bf)\rm(A-2\sqrt{2})(A+2\sqrt{2})=0

x1=1,246463...;x2=1,438447...;x3=5,753536...;x4=5,561552...

HK

Előzmény: [196] Hajba Károly, 2004-11-09 08:56:26
[196] Hajba Károly2004-11-09 08:56:26

Kedves László!

Én is megoldottam, csak Lajos beelőzött. :o)

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+16=0

A=(x-3)(x-4)=x2-7x+10

(A-4)A(A+2)+16=0

A3-2A2-8A+16=0

(A-2(A-2\sqrt{2})(A+2\sqrt{2})=0

x1=1,246463...;x2=1,438447...;x3=5,753536...;x4=5,561552...

HK

Előzmény: [195] lorantfy, 2004-11-09 08:45:18
[195] lorantfy2004-11-09 08:45:18

Kedves Lajos!

Gratula! Szép a szorzattáalakítás, de a trükköt is megoszthatnád velünk!

Felteszek még egy ábrát az 57. feladathoz hátha valakinek megtetszik!

Előzmény: [194] Lóczi Lajos, 2004-11-09 02:56:16
[194] Lóczi Lajos2004-11-09 02:56:16

Ha "csak úgy bele a közepibe", akkor

\left( 8 - 7x + x^2 \right) 
  \left( 10 - 2 {\sqrt{2}} - 7x + x^2 \right) 
  \left( 10 + 2 {\sqrt{2}} - 7x + x^2 \right).

Gyártottam még néhány feladatot erre a kaptafára, ezek kivétel nélkül másodfokúak szorzatára bonthatók:

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+n=0, ahol n\in{...,-189,-96,-35,-5,9,15,16,21,64,135,...}.

Persze a tényezők számának és az 1,2,3,4,5,6 számoknak semmi szerepük sincs, pl. (x+1)(x-2)(x+5)(x+4)(x+2)+160=0 egy másodfokú és egy harmadfokú szorzatára bomlik... stb. stb. stb.

Előzmény: [193] Gubbubu, 2004-11-08 19:37:04
[193] Gubbubu2004-11-08 19:37:04

58. feladat (ezt én Mosóczi András egyetemi hallgatótól ismerem)

Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)+16=0

Nem kell megijedni ettől a jó kis hatodfokú egyenlettől. Ügyesen kell szorozgatni és alakítgatni, nem csak úgy bele a közepibe... :-))

[192] lorantfy2004-11-07 20:00:53

57.feladat: Egy négyzet belsejében úgy vettünk fel két pontot, hogy az ezeket a négyzet négy csúcsával összekötő szakaszok a négyzetet kilenc, közös belső pont nélküli sokszögre darabolják.

Lehet-e a kilenc sokszög területe ugyanakkora?

(Varga Tamás verseny 1998.)

[191] Gubbubu2004-10-08 09:48:03

56. feladat: Igazoljuk, hogy tetszőleges háromszögben a szokásos jelölésekkel

 \frac{1}{ m_{a}+m_{b}+m_{c} } \le \frac{K^{2}}{16} \cdot \left(  \frac{1}{a}+ \frac{1}{b} +\frac{1}{c} \right)

!

Hálás lennék, ha valaki felvilágosítana, mennyire "jó" ez a becslés, van-e jobb esetleg.

[190] Suhanc2004-09-22 20:12:54

Ja, ez lemaradt: a;b;c\ge0

[189] Suhanc2004-09-22 20:12:09

Elmúlt szakkörön vettük, és egy általános tétel jött ki belőle:

55.Feladat:

Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenséget:

a3b+b3c+c3a\gea2bc+ab2c+abc2

[188] Suhanc2004-09-22 20:04:08

Mivel senki sem írt, beírom... Az első törtet {\sqrt 2}-vel bővítve a másodikat kapjuk...

Előzmény: [187] Hajba Károly, 2004-09-14 15:02:23
[187] Hajba Károly2004-09-14 15:02:23

54. feladat: Melyik a nagyobb szám, az A=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1} vagy a B=\frac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}?

HK

[186] V. Dávid2004-09-04 09:34:31

Az 53-as megoldása:

x^6-7x^2+\sqrt6=(x^2-\sqrt6)(x^4+\sqrt6x^2-1)=0

Előzmény: [185] lorantfy, 2004-09-04 09:22:33
[185] lorantfy2004-09-04 09:22:33

53. feladat: Oldjuk meg a valós számok halmazán az egyenletet:

x^6-7x^2+\sqrt6 = 0

('96-os OKTV feladat. Mondjuk alakítsuk szorzattá!)

[184] lorantfy2004-08-17 18:24:31

52. feladat megoldása: x4-15x2-18x kifejezés minimumát kell meghatározni elemi módszerekkel.

Jó lenne átalakítani két teljes négyzet összegére, mégpedig úgy, hogy mindkettő ugyanazon x értéknél adjon nullát. A konstans nem számít, majd a végén levonjuk!

x4-15x2-18x=(x2-a2)2+b(x-a)2+c

Elvégezve a műveleteket és az azonos kitevőjű tagok együtthatóit összehasonlítva a köv. egyenletrendszert kapjuk:

2a2-b=15

ab=9

c=-a4-ba2

Az első kettőből 2a3-15a-9=0, látszik, hogy a=3 gyöke, így szorzattá alakítjuk:

(a-3)(2a2+6a+3)=0, a másodfokú gyökei a=\frac{-3 \pm \sqrt3}{2} ez mindkettő negatív, 3-nál kisebb absz. értékű és b értéke is negatív.

Emiatt a c=-a4-ba2 értéke a=3-nál a legkisebb: b=3 és c=-108.

Tehát a konkrét átalakítás:

x4-15x2-18x=(x2-9)2+3(x-3)2-108

A kifejezés minimuma x=3-nál -108.

Előzmény: [181] Suhanc, 2004-08-15 12:51:21

  [1]    [2]    [3]    [4]    [5]    [6]    [7]    [8]    [9]    [10]    [11]    [12]    [13]    [14]    [15]    [16]    [17]    [18]    [19]    [20]    [21]    [22]    [23]    [24]    [25]    [26]    [27]    [28]    [29]    [30]    [31]    [32]    [33]    [34]    [35]    [36]    [37]    [38]    [39]    [40]