![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Előre is bocs, TeX-ben (újra)kezdő vagyok!
Ha bevezetjük az
![F(x,c,n)= \sum_{k=0}^n {(-1)^k (x+k)^c \binom{n}{k}}](keplet.cgi?k=5448F41E94C39556)
jelölést, akkor az igazolandó állítás: F(0,c,n)=0, ha c<n. Mi egy kicsit általánosabbat fogunk bizonyítani: F(x,c,n) 0 is igaz.
Biz.: Indukcióval.(Ha c,n-t rögzítjük, akkor F egyváltozós -csak x!- függvény.) Valamint a továbbiakban feltesszük, hogy n>c mindig.
F(x,1,2)=x-2(x+1)+(x+2) 0, ez rendben. Ezek szerint F(x,1,2) (c,n-t rögzítve) a konstans 0 függvény, és persze -F(x+1,1,2) 0 is igaz. Ha kirészletezzük
![F(x,1,2) = (-1)^0 x \binom{2}{0} + (-1)^1 (x+1) \binom{2}{1} + (-1)^2 (x+2) \binom{2}{2}](keplet.cgi?k=25B901458C285A8B)
valamint
![-F(x+1,1,2) = -(-1)^0 (x+1) \binom{2}{0} - (-1)^1 (x+2) \binom{2}{1} - (-1)^2 (x+3) \binom{2}{2}](keplet.cgi?k=9C0D5DE65B73FB01)
Mivel a binomiális együtthatókra igaz, hogy
![\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \binom{n}{k}](keplet.cgi?k=C1561965E17724A0)
, emiatt 0 F(x,1,2)-F(x+1,1,2)=F(x,1,3) is igaz. (Azért írtam ilyen részletesen, mert az indukció többi lépése ugyanerre az ötletre épül.)
Hasonlóan ha F(x,1,n) 0, akkor -F(x+1,1,n) 0 és az előzőek szerint F(x,1,n+1) 0 is igaz, vagyis c=1-re igaz az állítás.
Másfelől ha F(x,c,n)-t x- szerint deriváljuk, F'(x,c,n)=cF(x,c-1,n). Emiatt, ha F(x,c,n) 0, akkor F(x,c+1,n) d valamilyen d számra. Azt kellene látni, hogy feltéve, hogy F(x,n-2,n) 0, F(x,n-1,n) d esetén d csak a 0 lehet. Ez pedig a következők miatt igaz: x=-n/2 helyettesítéssel:
![F(-n/2,n-1,n) = \sum_{k=0}^n {(-1)^k (-n/2 + k)^{n-1} \binom{n}{k}}](keplet.cgi?k=CDB14C4E30A05E28)
itt n akár páros, akár páratlan az első-utolsó, második-utolsó előtti... tagok a szummában egymás ellentettjei (páros n esetén a középső tag egy 0), így összegük: 0. Mivel F(x,n-1,n) konstans volt, csak a konstans 0 lehet. Ezek szerint F(x,1,3) 0 miatt F(x,2,3) 0 is igaz, innen hasonlóan, mint c=1 esetén F(x,2,n) (n>2) is a konstans 0. Onnan F(x,3,4) 0, majd F(x,3,n) 0 (n>3) és így tovább... Ezzel az állítást beláttuk.
Melléktermékként kijöttek nekem a következő összefüggések (bizonyítás nélkül):
![F(x,n,n) = \sum_{k=0}^n {(-1)^k (x+k)^n \binom{n}{k}} = (-1)^n n!](keplet.cgi?k=9486913740F67F86)
![\sum_{n=0}^c \sum_{k=0}^n {(-1)^k (x+k)^c \binom{n}{k}} = (x-1)^c](keplet.cgi?k=C467B6D6EC10CEBA)
Ez utóbbi két összefüggés (1.) x=0, valamint (2.) x=-1,0,1 esetén szép összegeket ad, valamint a második összegben c-helyett végtelenig is mehetünk.
Feladat: bizonyítsuk ezt a két utóbbi összeget!
Ui.: Bocs ez egy kicsit szószátyár lett. Hellósztok!
|