[407] jenei.attila | 2005-10-31 11:58:40 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Végezzük el az y:=-x és
![z:=\frac{5y}{y-5}](keplet.cgi?k=517AC7EA65AC2EA4)
helyettesítést. Ezzel az eredeti egyenlet
![y^2+\frac{25y^2}{(y-5)^2}=11](keplet.cgi?k=E3C0BCBC2383DFB8)
, illetve
![z^2+\frac{25z^2}{(z-5)^2}=11](keplet.cgi?k=25B5BEEAF39A9D7C)
alakú lesz. Vagyis, ha y gyöke az egyenletnek, akkor z is az. De
![yz=\frac{5y^2}{y-5}](keplet.cgi?k=03D91ED0134F01BF)
és
![y+z=\frac{y^2}{y-5}](keplet.cgi?k=51B5E88D730AA6E2)
. Ezért a másodfokú egyenlet gyökeinek és együtthatóinak összefüggése szerint y és z egy x2+px-5p=0 alakú egyenelet gyökei, míg az eredeti egyenletből kapott negyedfokú egyenlet 3. és 4. gyöke szintén a x2+qx-5q=0 alakú egyenlet gyökei. Elvégezve a két másodfokú egyenlet összeszorzását és az együtthatók összehasonlítását p=1, q=-11 -et kapunk, amiből az eredeti gyökök könnyen megkaphatók.
|
Előzmény: [382] lorantfy, 2005-10-29 11:54:41 |
|
[406] Suhanc | 2005-10-31 10:30:45 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/111/7_l5u8.jpg) Próba-szerencse:
Legyen !
Ekkor nyilván Tehát ezen intervallumon keressük S értékét!
Fenti egyenletünk reciprokát véve:
Azaz:
Amiből: S2+2S-1=0
Itt S értékére két lehetőség van, ebből fenti kikötéseinket 1teljesíti:
Ez elfogadható S keresés? Avagy szükséges, hogy minden -ra mutassuk an-t. amire ?
|
Előzmény: [398] Lóczi Lajos, 2005-10-30 21:17:15 |
|
[405] Edgar | 2005-10-31 07:39:29 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/333/0_hiOs.jpg) jajajj, feladatom törvényen kívül került, mert nem adtam néki számot :-( Legyen:
83. feladat: Oldd meg a természetes számok körében:
x5-y2=4
|
Előzmény: [393] Edgar, 2005-10-30 19:32:45 |
|
[404] Róbert Gida | 2005-10-30 23:32:26 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/1047/0_C27B.jpg) A probléma nekem is megtetszett: valóban a Maple 9.5 sem tudja egyszerűsíteni a simplify paranccsal a formulát, ezután megpróbáltam a Mathematica 5.1-gyel, hogy mit tud: az egyszerübb Simplify itt sem egyszerűsít, de a bonyolultabb FullSimplify paranccsal 0.75 másodperc alatt megmondja, hogy az érték . Csodálatos, hogy már ilyen computeralgebra rendszer is van.
|
Előzmény: [392] Edgar, 2005-10-30 19:21:55 |
|
|
[402] ágica | 2005-10-30 22:02:05 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/default.jpg) Legyen , , c=26209, , az egyszerűség kedvéért. A feladatban lévő összeg első tagját beszoroztam -vel, a második tagot pedig hasonló módon szorozva, majd közös nevezőre hozva és egyszerűsítve kaptam, hogy az eredeti összeg egyenlő a kifejezéssel. Ebből arra gondoltam, hogy , és a számológépem ebben a gondolatban megerősített :) Tehát az eredeti kifejezést végülis felírtam alakban, ami viszont felírható formában is. Itt a nevező értékére a számológép kereken 179-et hozott ki, és ebből adódott az eredményem, ami persze lehet, hogy a számológép használatából adódó pontatlanságok miatt végülis hibás :)
|
Előzmény: [395] Lóczi Lajos, 2005-10-30 20:07:02 |
|
|
[400] lorantfy | 2005-10-30 21:35:45 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Kedves Suhanc!
Szép megoldás! Grat! Ahhoz képest, hogy a sárga feladatgyüjteményből van elég húzós!
Nekem dupla helyettesítéssel sikerült. Az elsővel szimmetrikus negyedfokúvá alakul, majd a szokásos módszerrel másodfokú lesz.
Ha lesz időm holnap beírom.
|
Előzmény: [388] Suhanc, 2005-10-30 12:46:17 |
|
[399] Lóczi Lajos | 2005-10-30 21:19:45 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/41/1_Hti1.jpg) 81. feladat. Legyen f0=0 és f1=1, továbbá legyen . Döntsük el, hogy fn felülről korlátos-e.
|
|
[398] Lóczi Lajos | 2005-10-30 21:17:15 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/41/1_Hti1.jpg) 80. feladat. Adjuk meg, mennyi lesz az alábbi végtelen tört értéke:
![\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+ ...}}} ,](keplet.cgi?k=8250ECBBC024F2EF)
azaz mennyi , ha r1=1/2 és ? Bizonyítsuk is be az eredményt.
|
|
[397] Lóczi Lajos | 2005-10-30 21:09:38 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/41/1_Hti1.jpg) 79. feladat. Tekintsük azt a pn sorozatot, amelyre és .
a.) Mi lesz ?
b.) Adjuk meg p2005 pontos értékét. (A válaszban tehát konstansokat és elemi függvényeket használhatunk, de a pn sorozat elemeit nem).
c.) Mi lesz , ha a fenti 22/7 helyett p0:= -1010 ?
|
|
[396] Lóczi Lajos | 2005-10-30 20:46:24 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/41/1_Hti1.jpg) 78. feladat. Valamely a>0 szám esetén értelmezzük az xn sorozatot a következőképpen:
x0:=0, , , , és általában, .
a.) Lássuk be, hogy az xn sorozat konvergens. Jelölje a határértékét A. Fejezzük ki A-t a segítségével.
b.) Mutassuk meg, hogy ha >0 tetszőleges valós szám és , akkor a hiba legfeljebb , azaz |xn-A|![\le](kep/tex/le.gif) .
c.) Viszont ha , akkor a hiba legalább , azaz ![\varepsilon](kep/tex/varepsilon.gif) |xn-A|.
|
|
|
|
[393] Edgar | 2005-10-30 19:32:45 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/333/0_hiOs.jpg) Nem tudom, szerepelt-e ez már... ha igen, elnézést :-)
Igazi gonosz kis ujjgyakorlat... Oldd meg a természetes számok körében:
x5-y2=4
|
|
[392] Edgar | 2005-10-30 19:21:55 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/333/0_hiOs.jpg) így van :-) okosabb vagy, mint a nagykemény Maple szoftver... azaz ezer matematikusnál okosabb :-P ("Command the Brillance of a thousand mathematicians") azt hittem, majd befejti nekem, de magad uram lett belőle...
|
Előzmény: [390] ágica, 2005-10-30 14:53:11 |
|
[391] lorantfy | 2005-10-30 18:41:50 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Igazad van!
A 32.tesztfeladathoz kiegészítő kérdés: Hányadik tizedesjegytől ismétlődik a Fibonacci sorozat tagjaiból az ott leírt módon készített végtelen összeg racionális értéke.
|
Előzmény: [389] Lóczi Lajos, 2005-10-30 13:32:48 |
|
|
[389] Lóczi Lajos | 2005-10-30 13:32:48 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/41/1_Hti1.jpg) Nem következik, hogy nincs igaza!
Egy racionális számban nemcsak az első pár tizedeshelyen levő "89" alkothatja az ismétlődő részt, ezért a hozzászólásodból a "szebb" szó törlendő :)
|
Előzmény: [387] lorantfy, 2005-10-30 11:22:22 |
|
[388] Suhanc | 2005-10-30 12:46:17 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/111/7_l5u8.jpg) Kedves László!
Egy lehetséges megoldás:
Végezzük el egyenletünkkel a következő átalakításokat (x<>-5)!
x2(x+5)2+25x2=11(x+5)2
x2(x+5)2+25x2+25(x+5)2=36(x+5)2
(x+5)2[x2+25]+25x2=36(x+5)2
(x+5)4-10x(x+5)2+25x2=36(x+5)2
[(x+5)2-5x]2=(6x+30)2
Ahonnan a2-b2=(a+b)(a-b) azonosságot felhasználva, és rendezve a tényezőket kapjuk, hogy:
(x2+11x+55)(x2-x-5)=0
Nyilván: x2+11x+55>0
Ezért csak x2-x-5=0 lehetséges, melyet
gyökök teljesítenek.
|
Előzmény: [382] lorantfy, 2005-10-29 11:54:41 |
|
[387] lorantfy | 2005-10-30 11:22:22 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/5/1_vlYn.jpg) Nincs igaza, mert ha egy pontosabb géppel számolja rögtön kiderül, hogy a 89 számpár nem ismétlődik: 19,798989873223330683223642138936
Szebb indoklásra még várni kell!
Mindenesetre ha racionális szám lenne, akkor ez lenne az értéke: ![\frac{195911}{9900}=19,788989898989...](keplet.cgi?k=EB58CA62ABA8F500)
|
Előzmény: [386] Lóczi Lajos, 2005-10-30 01:27:22 |
|
[386] Lóczi Lajos | 2005-10-30 01:27:22 |
![](https://www.komal.hu/forum/kep/fenykep/41/1_Hti1.jpg) 77. feladat. Valaki számológéppel azt találta, hogy
![\root3 \of{ 1253{\sqrt{2}} - 963{\sqrt{3}} } + \root 4 \of{ 26209 + 10500{\sqrt{6}} }\approx 19.7989898...](keplet.cgi?k=928467D2BEB3F15E)
amiből azt sejti, hogy a fenti szám racionális. Igaza van-e?
|
|
|
|
|