Fórum: Szép szám

Szeretnél hozzászólni? Jelentkezz be.

[4] Edgar	2004-10-14 14:16:11
Ah talán tényleg nem kellett volna feldobnom a megoldást... Aki gondolkozni akar az csak a tetejét olvassa el!

[3] Edgar

2004-10-14 14:14:47

Remélhetőleg a definíció világos, tehát pl. a 15-nek a nála kisebb pozitív osztói: 1, 3, 5, és 1^.3^.5=15. A 9 viszont nem, mert ennek nála kisebb poz. osztói: 1, 3; és 1^.3 $\ne$ 9.

Persze az kérdés, hogy az 1 "szép szám"-e, merthogy az 1-nek egy nála kisebb pozitív osztója sincs, és általában az üres szorzatot 1-nek tekintjük, de vehetjük nem értelmezettnek is.

Mindenesetre, ha egy adott n számnak csak egyféle prímtényezője van: $n=p^{\alpha}$ , akkor n pontosan akkor "szép szám", ha $n=p^{\alpha} = 1\cdot p\cdot p^2\cdot \dots \cdot p^{\alpha-1}$ , azaz $\frac {\alpha(\alpha-1)} 2 = \alpha$ , vagyis $\alpha$ =3.

Ha az n kanonikus alakjában 2 különböző prímtényező szerepel: $n=p^\alpha \cdot q^\beta$ , akkor n osztói közé tartozik a $p^\alpha$ és a $q^\beta$ ; ez két különböző osztó, és szorzatuk épp n; tehát nincs is más 1 és n közti osztó. Más szóval $\alpha$ = $\beta$ =1.

Végül ha n=p^.q^.r^.n₁, ahol p, q, r különböző primszámok, akkor n-nek különböző pozitív osztói a p^.q^.n₁, p^.r^.n₁, q^.r^.n₁; és már ezek szorzata is p²^.q²^.r²^.n₁³ $\ge$ n²>n. Tehát ekkor n nem "szép szám".

Azaz eredményünk: a "szép számok" a prímszámok köbei, a két különböző prímszám szorzataként előálló számok, és (értelmezéstől függően) az 1.

Tehát az első 10 szép szám: 1(?), 6, 8, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 27 (,33 - ?) Összegük: 150 (vagy 182).

Remélem, tudtam segíteni. Üdv.:

Edgar Davids

Előzmény: [1] csiga, 2004-10-14 13:13:21

[2] Sirpi

2004-10-14 13:56:00

A 15 nála kisebb osztói: 1, 3 és 5, ezek szorzata valóban 15, tehát a 15 szép szám. A 9 nála kisebb osztói: 1 és 3, vagyis a 9 nem szép. Na most, végig kéne nézni, hogy melyik a 10 legkisebb szép szám, és utána már csak össze kell adni őket. Esetleg valami közös jellemzőjét is meg lehetne adni ezeknek a számoknak, úgy könnyebb őket végigkeresni. Pl. prímek nem lehetnek szép számok, mert a nála kisebb osztójuk csak az 1, az pedig nem egyezik meg magával a számmal, ezeket rögtön ki lehet húzni.

Azért fogalmaztam picit rejtélyesen, mert nem akarom azonnal kiszámolni a megoldást, picit Ti is gondolkodjatok rajta :-)

Sirpi

Előzmény: [1] csiga, 2004-10-14 13:13:21

[1] csiga

2004-10-14 13:13:21

Középiskolások vagyunk, és kaptunk egy számrejtvény, melyben az első 10 szép szám összege a kérdés. ( szépnek nevezünk egy pozitív egész számot, ha tőle kisebb osztóinak szorzata megegyezik a számmal pl.: a 15 szép szám, de a 9 nem )

Ezt mi nem értjük ezért segítséget szeretnénk kérni. Előre is köszönjük.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?