Fórum: Héttusa feladatok

Vázlatosan és pontatlanul fogalmaztam. Valóban nem a fal hosszát, hanem a faldarabok számát figyeljük. Ezekből a darabokból \(\displaystyle 4\cdot8=32\) van.

A bizonyításban (hogy max. 10 királynő lehet) a királynőnek csak azt a tulajdonságát használjuk, hogy vízszintes és függőleges irányban lő. Fontos, hogy kihagyjuk az átlós irányt. Emiatt mondhatjuk, hogy egy kiválasztott faldarabra a táblára helyezett királynők közül csak egy királynő tud lőni.

Egy a táblán lévő királynő 3 vagy 4 faldarabot lőhet, mert a négy lövésirányból max. csak az egyikben állhat akadályként egy másik királynő.

10 királynő még állhat a táblán, ha mindegyik 3 faldarabot lő, ekkor a 32 faldarabból 30-at kilőnek. Így még belefér az, hogy 2 királynő 4-4 faldarabot lő.

De 11 királynő esetén legalább \(\displaystyle 11\cdot3=33\) különböző faldarabot lőnek, ami nem megy, mert csak 32 faldarab van.

Így az következik, hogy legfeljebb 10 királynő állhat a táblán.

Bocs, hogy korábban elnagyoltan és szűkszavúan fogalmaztam.

Nekem ez nem tűnik meggyőzőnek.

Egyrészt szerintem az érvelés szempontjából nem a falak "összhossza", hanem az üthető falmenti mezők darabszáma számít, és ez nem 32, csak 28; másrészt viszont, mivel (mint az ábrán látjuk) 10 királynő valóban elhelyezhető, az érvelés is hibás, hiszen 10*3 = 30 > 28.

A "Két különböző királynő a sakktábla széleit (falait) más-más helyeken lövi" megállapítás téves, még akkor is, ha a két különböző királynő nem üti egymást. a1-et például a megoldásban három királynő is üti, ami persze teljesen rendben is van.

Rosszul értek valamit?

A bank nem lehet játékos, ezt tiltják a szabályok. Minden kártyához egy betétösszeg tartozik, a bank ezeket nem keverheti össze. Dagobert bácsi ellenfele ebben a játékban csak Fortuna istennnő.

Most már úgy látom, hogy ha a balszerencse Dagobert bácsi ellen dolgozik, akkor 30 ezernél többet sajnos nem tud felvenni.

Ha például mindig 6 ezret próbál felvenni, és az első öt próbálkozása mind sikertelen, akkor a bankban bent maradt 15 ezer, és még öt kártyája van a többi 40 ezer kivételére. Erre a legjobb taktikája az, ha marad a 6 ezres felvételeknél, így 5-ször 6 ezret, azaz 30 ezret kap biztosan. Ha más összegek felvételével próbálkozik, akkor rosszabbul is járhat.

Kengyelfutó Einstein jeligével (ált. iskola 6. osztályos tanuló). Danka Emma felvetésére egy megoldás, ami még talán nem szerepel a fórumon. A kérdés lényege az volt, hogy max hány bástya helyezhető el a táblán, hogy mindegyik bábu 2 másikat tartson ütés alatt? A válasz (ahogy többször is szerepelt) 16, de talán ez az elrendezés nincs még fent.

Válasz a 6. kérdésre.

Ahogyan a 21. hozzászólásban, itt is figyeljük, merre „lő” egy bábu. Egy királynő 4 irányban lő, ha csak a sorát és az oszlopát figyeljük. Két különböző királynő a sakktábla széleit (falait) más-más helyeken lövi.

Ha 11 királynő lenne a táblán, és mindegyik királynő legfeljebb egy másikat tart ütés alatt, akkor mindegyik királynő legalább 3 helyen, a 11 királynő legalább \(\displaystyle 11\cdot3=33\) helyen üti a tábla falát, azonban a fal hossza csak \(\displaystyle 4\cdot8=32\). Ezért 11 királynőt nem tehetünk a táblára.

10 királynőt lehet, például így:

az elso abra helyesen:

6. kerdes - Ha egy sorban van 2 kiralyno, akkor ezek oszlopaiban nem lehet tobb, kulonben valamelyiket utne 2. Ha van 4 ilyen sor (2 kiralynos), akkor ezek osszesen lefogjak az osszes oszlopot, igy nem lehet tobb kiralyno a tablan, ez maximum 8. Ha van 3 ilyen sor, akkor ezek lefognak 6 oszlopot, ahol nem lehet tobb kiralyno, a maradek ket oszlopban maximum 4 lehet, ez maximum 10. Ha maximum 2 ilyen van, akkor osszesen maximum \(\displaystyle 2\cdot2+1\cdot6=10\) babu lehet.

De 10 eseten van konstrukcionk, peldaul ezek [ha valaki talal lenyegesen kulonbozot, szoljon]:

Qa1,Qa4,Qb7,Qc7,Qd3,Qe6,Qf2,Qf8,Qg5,Qh5

Qa1,Qa5,Qb8,Qc4,Qd7,Qe7,Qf2,Qf3,Qg6,Qh6

Qa1,Qa6,Qb3,Qc7,Qd7,Qe4,Qf2,Qf8,Qg5,Qh5

Qa2,Qa3,Qb6,Qc6,Qd1,Qe1,Qf4,Qf5,Qg7,Qh8

Qa2,Qa3,Qb7,Qc6,Qd8,Qe1,Qf4,Qf5,Qg1,Qh8

Qa2,Qa4,Qb6,Qc1,Qd6,Qe1,Qf3,Qf5,Qg7,Qh8

Qa2,Qa4,Qb7,Qc7,Qd3,Qe1,Qf6,Qf8,Qg1,Qh3

Qa2,Qa4,Qb7,Qc7,Qd3,Qe1,Qf6,Qf8,Qg1,Qh5

Qa2,Qa5,Qb7,Qc1,Qd1,Qe4,Qf6,Qf8,Qg3,Qh3

Qa2,Qa5,Qb8,Qc8,Qd4,Qe7,Qf1,Qf3,Qg6,Qh6

Qa2,Qa7,Qb4,Qc8,Qd8,Qe5,Qf1,Qf3,Qg6,Qh6

Qa3,Qa4,Qb8,Qc7,Qd2,Qe2,Qf5,Qf6,Qg1,Qh1

Qa3,Qa4,Qb8,Qc8,Qd2,Qe2,Qf6,Qf7,Qg1,Qh1

Qa4,Qa5,Qb1,Qc1,Qd6,Qe7,Qf2,Qf3,Qg8,Qh8

Qa1,Qa8,Qb3,Qb4,Qc7,Qd7,Qe2,Qf2,Qg5,Qg6

Qa1,Qa8,Qb3,Qb5,Qc7,Qd2,Qe7,Qf2,Qg4,Qg6

Qa3,Qa5,Qb1,Qb8,Qd7,Qe2,Qf7,Qg2,Qh4,Qh6

Qa1,Qa7,Qb4,Qc2,Qc6,Qd8,Qf4,Qg8,Qh3,Qh5

Qa3,Qa5,Qb1,Qc6,Qc8,Qd1,Qf7,Qg7,Qh2,Qh4

Qa2,Qa4,Qb7,Qc1,Qd6,Qd8,Qe1,Qg7,Qh3,Qh5

Qa3,Qa5,Qb8,Qc2,Qd4,Qd7,Qe2,Qg8,Qh1,Qh6

Qa3,Qa4,Qb7,Qc7,Qd2,Qe2,Qf5,Qf6,Qg1,Qg8

Qa3,Qa5,Qb7,Qc2,Qd7,Qe2,Qf4,Qf6,Qg1,Qg8

Qa1,Qa7,Qb4,Qc4,Qd8,Qe8,Qf3,Qf5,Qh2,Qh6

Qa2,Qa4,Qb7,Qd6,Qd8,Qe1,Qe3,Qf5,Qg7,Qh5

Qa3,Qa4,Qb7,Qd2,Qd8,Qe5,Qe6,Qf1,Qg1,Qh7

Qa3,Qa5,Qb1,Qd1,Qe6,Qe8,Qf4,Qg2,Qg7,Qh4

Qa2,Qb5,Qb7,Qc1,Qc3,Qd8,Qf8,Qg4,Qg6,Qh2

Qa4,Qb6,Qb8,Qc1,Qc3,Qe2,Qf5,Qf7,Qg2,Qh4

Qa1,Qb3,Qb4,Qc7,Qc8,Qe2,Qf2,Qg5,Qg6,Qh1

Qa4,Qb2,Qb7,Qc4,Qd6,Qd8,Qe1,Qe3,Qf5,Qh5

Qa4,Qb2,Qb7,Qc5,Qd3,Qd8,Qe1,Qe6,Qf4,Qh5

Qa3,Qb5,Qb7,Qc3,Qd1,Qd8,Qe6,Qf2,Qf4,Qg6

Qa2,Qb4,Qb6,Qc8,Qd1,Qd3,Qe8,Qg5,Qg7,Qh2

Qa1,Qa3,Qb6,Qb8,Qc2,Qd7,Qe2,Qf7,Qg5,Qh4

Qa1,Qa7,Qb3,Qb5,Qc8,Qd2,Qe4,Qf8,Qg6,Qh2

Qa1,Qa7,Qb4,Qb5,Qc2,Qd8,Qe6,Qf3,Qg3,Qh6

Qa1,Qa8,Qb3,Qb4,Qc7,Qd7,Qe2,Qf2,Qg5,Qh6

Qa2,Qa3,Qb5,Qb6,Qc8,Qd1,Qe1,Qf4,Qg7,Qh7

Qa2,Qa4,Qb6,Qb8,Qc1,Qd3,Qe7,Qf5,Qg7,Qh1

Qa2,Qa4,Qb7,Qc1,Qd6,Qd8,Qe1,Qf5,Qg7,Qh3

Qa2,Qa4,Qb7,Qc1,Qd6,Qd8,Qe3,Qf5,Qg7,Qh5

Qa2,Qa6,Qb4,Qc7,Qd1,Qe3,Qe8,Qf5,Qg7,Qh1

Qa2,Qa6,Qb4,Qc7,Qd1,Qe3,Qe8,Qf5,Qg7,Qh4

Qa3,Qa4,Qb1,Qc8,Qd8,Qe2,Qe5,Qf7,Qg1,Qh6

Qa3,Qa5,Qb7,Qc2,Qd1,Qe6,Qe8,Qf4,Qg7,Qh4

Qa4,Qa5,Qb1,Qc8,Qd6,Qe2,Qe3,Qf7,Qg7,Qh1

Qa2,Qa3,Qb5,Qc8,Qd8,Qe1,Qf4,Qg6,Qg7,Qh1

Qa2,Qa3,Qb7,Qc7,Qd4,Qe1,Qf1,Qg5,Qg6,Qh8

Qa2,Qa4,Qb8,Qc5,Qd8,Qe3,Qf1,Qg6,Qg7,Qh1

Qa2,Qa5,Qb7,Qc1,Qd4,Qe7,Qf1,Qg3,Qg6,Qh8

Qa2,Qa5,Qb8,Qc8,Qd1,Qe3,Qf1,Qg6,Qg7,Qh4

Qa2,Qa6,Qb4,Qc1,Qd8,Qe8,Qf5,Qg3,Qg7,Qh1

Qa3,Qa5,Qb7,Qc2,Qd7,Qe2,Qf4,Qg1,Qg8,Qh6

Qa3,Qa5,Qb7,Qc2,Qd7,Qe2,Qf6,Qg1,Qg8,Qh4

Qa1,Qa6,Qb3,Qc7,Qd7,Qe3,Qf8,Qg2,Qh4,Qh5

Qa3,Qa5,Qb8,Qc2,Qd7,Qe2,Qf7,Qg1,Qh4,Qh6

Qa2,Qb5,Qb6,Qc3,Qc8,Qd1,Qe7,Qf4,Qg2,Qh7

Qa3,Qb5,Qb6,Qc8,Qd1,Qd2,Qe4,Qf7,Qg7,Qh4

Qa3,Qb5,Qb7,Qc3,Qd1,Qd8,Qe6,Qf4,Qg6,Qh2

Qa4,Qb2,Qb7,Qc4,Qd6,Qd8,Qe3,Qf5,Qg1,Qh5

Qa4,Qb1,Qb6,Qc3,Qd5,Qe2,Qe7,Qf4,Qg8,Qh3

Qa1,Qb3,Qb4,Qc7,Qd7,Qe2,Qf2,Qg5,Qg6,Qh8

Qa1,Qb3,Qb5,Qc7,Qd2,Qe7,Qf2,Qg4,Qg6,Qh8

Qa3,Qb3,Qc6,Qc7,Qd4,Qe1,Qe2,Qf5,Qg5,Qh8

Qa3,Qb5,Qc2,Qc7,Qd4,Qe1,Qe6,Qf3,Qg5,Qh8

Qa4,Qb2,Qc4,Qd6,Qd8,Qe1,Qe3,Qf5,Qg7,Qh5

Qa4,Qb2,Qc5,Qd3,Qd8,Qe1,Qe6,Qf4,Qg7,Qh5

Egy minden sorban/oszlopban kiralyno es egy egyet kihagyos pelda:

Érdemes úgy elképzelni, hogy (1) ez egy kétszemélyes játék, (2) a bank tudja, hogy milyen kártyák vannak a bácsi kezében, (3) a bank nem akar 30 ezernél több pénzt kifizetni. Lehet-e ebben a játékban nyerni a bankkal szemben?

A 7. kérdésre adott válaszom (34 ezer dollár) csak becslés. Lehet, hogy csak 33 ezer dollár.

Ha Dagobert bácsi mindegyik bankkártyájával 5 ezer dollárt igényel, akkor 30 ezret kap. Ugyanígy ha mindig 6 ezret igényel, akkor is 30 ezerhez juthat hozzá.

Viszont taktitázhat úgy, hogy a már megtörtént lehívásai összegeinek és sikerességeinek függvényében módosítgatja az igénylendő összeget. Ezáltal a 30 ezernél többhöz is hozzájuthat.

Véleményem szerint egy ügyes programozó tudna írni egy olyan programot, amely még elfogadható (polinomális) idő múlva megadná a választ.

Válasz a 7. kérdésre:

Szerintem Dagobert bácsi biztosan fel tud venni 34 ezer dollárt.

Két új kérdés.

6. kérdés: Legfeljebb hány királynő helyezhető el a sakktáblán úgy, hogy mindegyik legfeljebb egy másikat tartson ütés alatt?

7. kérdés: Dagobert bácsinak van 10 bankkártyája, melyeken 1, 2, 3, ..., 10 ezer dollár van. Szegény már elfelejtette, hogy ezek melyik kártyán vannak, csak a pénzösszegekre emlékszik. Mindegyik kártya csak egyszer használható. Dagobert bedughatja a kártyát az ATM-be, és kérhet valamilyen összeget. Ha van rá fedezet, az ATM kiadja a kért pénzösszeget, különben nem ad ki semmit. Sajnos az ATM nem mutatja meg, hogy mennyi pénz volt a kártyán. Mekkora az a legnagyobb összeg, amit Dagobert bácsi biztosan fel tud venni a kártyákról?

Most írom a 4. kérdésre a választ... :)

Az 5 bástya lefog 5 sort és 5 oszlopot a táblából. 3 sor és 3 oszlop marad szabad, ahová egyáltalán el lehet helyezni huszárt. Így legfeljebb \(\displaystyle 3\times 3=9\) huszárt lehet elhelyezni, az pedig lehetséges is:

Bocs, ez az 5. kérdés volt... :)

4. kérdés. Mivel a bástya által ütött két futó nem lehet ugyanaz a két futó, ami üti a bástyát, ezért legalább 4 futó van. A szerepeket felcserélve is okoskodhatnánk, de mivel ugyanannyi bástya és futó van, ezért legalább négy bástyának is lennie kell. És erre itt egy lehetséges elhelyezés:

Ez alapján 3 "szabad" rácspontunk van, amit nem muszáj lefednünk. Így nem lehet minden sarok üres, mert az 4 nem lefedett rácspontot jelentene. Nem lehet mind a 4 sarokban egymást átlósan ütő király-pár, mert az is 4 plusz rácspontot igényelne. 0 vagy 2 olyan király lehet, amelyik nem üt másikat, hiszen egy király önmagában 4 rácspontot foglal el. Ezek alapján kell legyen egy olyan sarok, amelyben két király oldalszomszédos mezőn áll. Forgatással és tükrözéssel megoldható, hogy ezek a bal felső sarokban az első sorban álljanak. Ha ehhez hozzávenném, hogy nyilvántartsam a "kihagyott" rácspontokat, akkor a program valószínűleg záros határidőn belül lefutna.

Másik ötlet a fentiek alapján, hogy a király-párokat igyekszem lerakni. Alapvetően nem sok eset lehet:

1. Minden pár oldalszomszédos: 3 rácspont marad ki.

2. Két egyedülálló király van (mint pl. a 27-es hozzászólásban), a többi oldalszomszédos: 1 rácspont marad ki.

3. Két egyedülálló király van, egy átlósan ütő pár, a többi oldalszomszédos: nincs kimaradó rácspont.

4. Egy, kettő vagy három átlósan ütő pár van, a többi oldalszomszédos: 2, 1 vagy 0 rácspont marad ki.

Mivel főleg király-párokat helyezünk el, a vizsgálandó esetek száma óriásit csökken, ez szerintem másodperceken belül meg kell adja az összes megoldást, bár leprogramozni bonyolultabb (valakinek nincs kedve megcsinálni? :) ). Amúgy szerintem a 3. pont és a 4. pontból az utolsó kettő nem fog előfordulni.

Kiszűrtem a forgatással/tükrözéssel egymásból megkapható megoldásokat és pár perc futás után találtam 156 megoldást. A programom nem nézte végig (valószínűleg ebben a formában nem is tudja végignézni) az összes lehetséges megoldást, így nem tudom, hogy ez mennyire van "közel" az összeshez...

Bocsi, zűrös volt az utóbbi pár nap, csak most olvastam. És igen, erre gondolt a költő... :)

Miért nem lehet 26-nál több királyt elhelyezni a táblán?

Figyeljük az "elfoglalt" rácspontokat.

A sakktáblán a rácsegyenesek \(\displaystyle 9\cdot9=81\) pontban metszik egymást, 81 rácspont van.

2 egymást ütő király 6 vagy 7 rácspontot foglal el. Ha 2 másik ilyen királyt nézünk, azokhoz más rácspontok tartoznak. Ha a 26 király 13 párt alkot (az egy párban lévők ütik egymást), akkor ők legalább \(\displaystyle 13\cdot6=78\) rácspontot foglalnak el a 81-ből ...

Ha jól számolom, már nyolc megoldásnál tartunk e kettővel együtt:

Ismét javítom magam (bocs).

E sor helyett ez a végleges szövegem:

"... ez a "Héttusa feladatok" - fórum / [22]-es hsz. / 3. kérdés / b. feladat."

Ebből könnyű volt megkapni a következő megoldást:

Persze ez a Héttusa számozása szerint a 3/b. feladat.

Újabb két megoldás alul.

24/b. feladat:

Hány különböző megoldása van a feladatnak, ha eltekintünk a (tengelyes-, vagy középpontos) tükrözésekből adódó többletmegoldásoktól?

De talán ez a legjobb, mert a mintázat könnyen bővíthető minden \(\displaystyle 6k+2\) oldalú táblára. Sőt, minden páros \(\displaystyle n\)-ről \(\displaystyle (n+6)\)-ra.

Van még egy másik is