A 45. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai

Első nap

1. Legyen ABC hegyesszögű háromszög, amiben AB\(\displaystyle \ne\)AC. A BC átmérőjű kör az AB, ill. AC oldalakat az M, ill. N pontokban metszi. Jelölje O a BC oldal középpontját. A BAC\(\displaystyle \angle\) és MON\(\displaystyle \angle\) szögek szögfelezői az R pontban metszik egymást. Bizonyítsuk be, hogy a BMR és CNR háromszögek körülírt köreinek van olyan közös pontja, ami a BC oldalon fekszik.

2. Határozzuk meg az összes olyan valós együtthatós P(x) polinomot, amely kielégíti a

P(a-b)+P(b-c)+P(c-a)=2 P(a+b+c)

egyenlőséget, valahányszor a, b, c olyan valós számok, amelyekre teljesül

ab+bc+ ca=0.

3. Nevezzük horognak az alábbi ábrán látható, hat egységnégyzetből álló alakzatot

valamint minden olyan alakzatot, amely ebből forgatásokkal és tükrözésekkel kapható.

Határozzuk meg az összes olyan m xn-es téglalapot, ami lefedhető horgokkal úgy, hogy

[\(\displaystyle \bullet\)] a lefedés hézagmentes és átfedések nélküli,

[\(\displaystyle \bullet\)] semelyik horognak nem nyúlik semelyik része sem a téglalapon kívülre.

Második nap

4. Legyen n\(\displaystyle \ge\)3 egész szám. Legyenek t₁,t₂,...,t_n pozitív valós számok, amelyekre teljesül

\(\displaystyle n^2+\)(t_1+t_2+\dots+t_n)\left(\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\dots+ \frac{1}{t_n}\right). ">

Mutassuk meg, hogy t_i, t_j, t_k egy háromszög oldalhosszai minden olyan i, j, k esetén, amikre 1\(\displaystyle \le\)i<j<k\(\displaystyle \le\)n teljesül.

5. Egy ABCD konvex négyszögben a BD átló nem szögfelezője sem az ABC\(\displaystyle \angle\), sem a CDA\(\displaystyle \angle\) szögnek. A P pont az ABCD négyszög belsejében fekszik, és teljesül rá

PBC\(\displaystyle \angle\)=DBA\(\displaystyle \angle\) és PDC\(\displaystyle \angle\)=BDA\(\displaystyle \angle\).

Bizonyítsuk be, hogy ABCD akkor és csak akkor húrnégyszög, ha AP=CP.

6. Egy pozitív egész számot alternálónak nevezünk, ha a tízes számrendszerbeli felírásában a szomszédos számjegyek mindig különböző paritásúak.

Határozzuk meg az összes olyan n pozitív egész számot, amire igaz az, hogy n-nek van olyan többszöröse, ami alternáló szám.