Kós Géza: Rajzoljuk meg a másik metszéspontot is!

JÓTANÁCS: Ha egy feladat egy kör és egy egyenes, vagy két kör egy bizonyos metszéspontját kéri, akkor rajzoljuk meg a bizonyítandó állítást a másik metszésponttal is, és vizsgáljuk a kétféle esetet egyszerre, ugyanazon az ábrán.

Gondoljuk meg, hogy mi is van a Jótanács mögött. Képzeljük el, hogy egy feladatot, ahol valamilyen geometriai egybeesést (pl. három egyenes egy ponton megy át) kell bizonyítani, koordinátákkal oldunk meg. Először különböző betűket választunk a szabadon megválasztható paraméterek, például a különböző pontok koordinátáinak jelölésére, utána pedig ezekkel a betűkkel kifejezzük a korábbiaktól függő pontok koordináit és a különböző görbék, egyenesek egyenleteiben szereplő együtthatókat. Ha pontosan számolunk, a végén a bizonyítandó állítás egy algebrai azonosság kell, hogy legyen.

Kör és egyenes, illetve két kör metszéspontjának kiszámításához másodfokú egyenletet kell megoldanunk. Az eredmény egy gyökös kifejezés lesz: a metszéspont koordinátáiban megjelenik egy kellemetlen négyzetgyök (a másodfokú egyenlet két gyökének különbsége), amit azután magunkkal kell cipelnünk. A megoldás végén egy négyzetgyökös azonosságot kell ellenőriznünk. Itt jön a lényeg. Tapasztalhattuk, hogy a négyzetgyökös azonosságok többnyire akkor is igazak maradnak, ha a pozitív négyzetgyök helyett a negatívat vesszük; ezért a legtöbb esetben a bizonyítandó állítás a másik metszésponttal is igaz. Az is előfordul, hogy egy feladaton belül több ilyen metszéspontpár is szerepel; ilyenkor a bizonyítandó állításnak még több példányát fedezhetjük fel az ábrában.

A folytatás a lapban olvasható.