Besenyei Ádám: A Milne-egyenlőtlenség és társai, avagy ellenállások álruhában I.

,,A matematika a fizika része. A fizika kísérleti tudomány, a természettudomány része. A matematika a fizikának az a része, amelyben a kísérletek olcsók.'' E mondatokkal kezdte a matematika tanításáról szóló előadását (lásd [3]) a 20. század egyik zseniális matematikusa, Vlagyimir Igorevics Arnold (1937-2010), aki a fizikai intuíciót a matematikai gondolkodás nélkülözhetetlen elemének tekintette (egyedi látásmódjáról bárki képet kaphat az idézett előadásából, illetve a magyarul középiskolai szakköri füzetként megjelent [2] könyvecskéjéből). Bár Arnold iménti kijelentése kissé merésznek tűnik, annyi mindenesetre bizonyos, hogy számos, tisztán matematikainak látszó eredmény mögött valójában a józan ész számára teljesen világos és természetes fizikai elvek bújnak meg. Ezek a rejtett gondolatok gyakran roppant váratlan helyeken bukkannak fel - a [7] könyv például egy egész sereg meglepő összefüggésre világít rá -, és gyönyörű megnyilvánulásai a két tudományterület egymáshoz való szoros kötődésének.

Jelen írásunk célja is éppen az, hogy egy szép és talán kevéssé ismert példáját mutassuk annak, ahogyan egyszerű fizikai meggondolások matematikai álruhát öltenek. Mindössze ellenállásokat kell megfelelő módon összekapcsolni, és rögtön nevezetes egyenlőtlenségekhez jutunk, mint például a számtani és harmonikus közepek közötti egyenlőtlenség, a Milne-egyenlőtlenség, amely egy KöMaL feladat megoldásában is szerephez jutott, valamint a Minkowski-egyenlőtlenség egy speciális esete. Cikkünkben az említett egyenlőtlenségeket először ellenállás-hálózatokbeli fizikai megfontolások segítségével ,,bizonyítjuk'', majd matematikailag is igazoljuk, közben pedig a történeti hátterükről szintén szót ejtünk. Mindvégig csupán elemi eszközökre támaszkodunk, nagyrészt matematikára, az elején egy kis fizikával fűszerezve. Néhány eredményt feladat formájában fogalmazunk meg és tűzünk ki, ezzel elősegítve a témában való elmélyülést. Kezdődjön tehát a kaland.

A folytatás a lapban olvasható.