Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2001. december

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 650. Egy képkereskedésben a képek keretének ára egyenesen arányos a bennük lévő festmények értékével. A kereskedő annak érdekében, hogy bizonyos képek ára közötti különbséget csökkentse, felcserél egymással két-két keretet. Az egyik esetben az a kép, amely ötször annyiba került, mint a másik, kereteik felcserélése után már csak háromszor annyiba kerül. Hogyan módosul a ,,Téli táj'' és a ,,Falu rossza'' c. képek árainak aránya, ha kereteik felcserélése előtt a ,,Téli táj'' kilencszer annyiba került, mint a ,,Falu rossza''?

C. 651. Az ábrán látható egységnyi területű körben a szürke tartományt félkörívek határolják. Az AB átmérőnek 1/5 egységnyi része esik a satírozott tartomány belsejébe. Mekkora a satírozott tartomány kerülete és a területe?

C. 652. Legyen s páratlan sok jegyű pozitív egész szám. Jelölje f azt a számot, amely s számjegyeiből áll, csak fordított sorrendben. Bizonyítsuk be, hogy s+f pontosan akkor osztható 11-gyel, ha s is osztható 11-gyel.

C. 653. A p paraméter hány különböző értékére van az

x²-y²=0

xy+px-py=p²

egyenletrendszernek pontosan egy megoldása?

C. 654. f_a, f_b és f_c jelölik egy a, b, c oldalú, T területű háromszög belső szögfelezőinek a hosszát. Igazoljuk, hogy

${f_a\cdot f_b\cdot f_c\over abc}=4T\cdot{a+b+c\over(a+b)(b+c)(a+c)}.$

Javasolta: Kovács Gabriella, Budapest

A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3502. Az ABC hegyesszögű háromszögben az AB átmérőjű félkör a C-ből induló magasságot C₁-ben, a BC átmérőjű félkör az A-ból induló magasságot A₁-ben metszi. Bizonyítsuk be, hogy BC₁=BA₁. (3 pont)

B. 3503. Adottak az a, b, c, d és f szakaszok. Tegyük fel, hogy létezik olyan négyszög, melynek egymást követő oldalai a, b, c, d, az a és c oldalak felezőpontját összekötő szakasz hossza pedig f. Szerkesszünk ilyen négyszöget. (4 pont)

B. 3504. Jelölje S(n) a tízes számrendszerben felírt n szám jegyeinek az összegét, U_k=11...1 pedig a k darab egyessel felírt számot. Keressük meg azokat a k értékeket, amelyekre S(U_k²)=(S(U_k))². (4 pont)

B. 3505. Egy szabályos nyolcszöget paralelogrammákra osztunk fel. Bizonyítsuk be, hogy a paralelogrammák között van téglalap. (5 pont)

B. 3506. Az f polinomra teljesül, hogy f(x²+1)-f(x²-1)=4x²+6. Határozzuk meg az f(x²+1)-f(x²) polinomot. (4 pont)

B. 3507. Legyen f(x) egész együtthatós polinom, p és q pedig relatív prímek, q $ne$ 0. Bizonyítsuk be, hogy ha p/q gyöke az f-nek, akkor f(k) minden k egészre osztható p-kq-val. Igaz-e az állítás megfordítása? (4 pont)

B. 3508. Az ABC és az A₁B₁C₁ háromszögek tengelyesen tükrös helyzetűek. Húzzunk párhuzamost A₁-en keresztül BC-vel, B₁-en keresztül AC-vel, végül C₁-en keresztül AB-vel. Bizonyítsuk be, hogy ez a három egyenes egy ponton halad át. (4 pont)

B. 3509. Bizonyítsuk be, hogy ha $0<x<{\pi\over2^{k+1}}$ , akkor

$\displaystyle {1\over\sin2x}+{1\over\sin4x}+\dots+{1\over\sin2^kx}<\ctg x.$

(3 pont)

Javasolta: Balogh János, Kaposvár

B. 3510. Az ABCD tetraéder csúcsain keresztül fektessünk a szemközti lapokkal párhuzamos síkokat. Ez a négy sík egy újabb tetraédert határoz meg. Bizonyítsuk be, hogy A, B, C és D az így kapott tetraéder lapjainak a súlypontjai. (3 pont)

B. 3511. Az a, b, c, d nemnegatív számokra a $le$ 1, a+b $le$ 5, a+b+c $le$ 14 és a+b+c+d $le$ 30. Bizonyítsuk be, hogy $\sqrt a+\sqrt b+\sqrt c+\sqrt d\leq10$ . (5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 278. A P pont az ABCD téglalap AC átlójának C-n túli meghosszabbításán helyezkedik el úgy, hogy BPD $szog$ =CBP $szog$ . Határozzuk meg a PB:PC arányt.