Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A számítástechnika-versenyben kitűzött feladatok
2002. november

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

I. 34. A binomiális együtthatók felhasználhatók számok speciális számrendszerben, az ún. binomiális számrendszerben való felírására. Rögzített m (2\lem \le50) esetén minden nemnegatív n (0 \(\displaystyle \le\)n \(\displaystyle \le\)10 000) szám egyértelműen felírható az alábbi formában: n={a_1\choose1}+{a_2\choose2}+\dots+ {a_m\choose m}, ahol 0 \(\displaystyle \le\)a1 < a2 < ...< am.

Készítsünk programot (I34.pas, ...), amely beolvassa n és m értékét, majd kiírja a hozzá tartozó a1,a2,..., am értékét!

Pl.: n=41 esetén a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4, a4 = 7, azaz

\(\displaystyle 41={1\choose1}+{2\choose2}+{4\choose3}+{7\choose4}=1+1+4+35.\) (10 pont)

I. 35. Egy R sugarú, H magasságú henger palástja alján elhelyezünk egy hangyát. A hangya percenként M centimétert mászik felfelé. A hengert tengelye (ami a koordinátarendszer Z tengelye) körül megforgatjuk az óramutató járásával ellentétes irányban, egy fordulatot T perc alatt tesz meg. A hangya az (R,0,0) pontból indul, és pályáját az Y=0 síkra vetítjük. A vetítősugarak az Y-tengellyel ALFA fok szöget zárnak be (1. ábra).

1. ábra2. ábra

Készítsünk programot (I35.pas, ...), amely beolvassa R (1 \(\displaystyle \le\)R\(\displaystyle \le\)50), H (1 \(\displaystyle \le\)\leH \le200), M (1 \leM \leH), T (1\leT \le\le100) és ALFA (0 \leALFA<90) értékét, majd az Y=0 síkra vetített ábrát rajzol a hangya pályájáról a henger látható oldalán folytonos, hátoldalán pedig pontozott vonallal.

R=50, H=200, M=1, T=40, ALFA=30 esetén a 2. ábrán látható rajzot kapjuk. (10 pont)

I. 36. A trinomiális tétel szerint:

{(x+y+z)}^n=\sum_{\textstyle{0\le a,b,c\le n\atop
a+b+c=n}}{a+b+c\choose a,b,c}x^ay^bz^c.

A képletben használt zárójeles formula az ún. trinomiális együtthatókat tartalmazza, melyeket az alábbi képlettel is számolhatunk:

{a+b+c\choose a,b,c}=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}.

Az ebben a képletben szereplő faktoriális értékek azonban túlságosan nagyok, így kiszámításuk nem mindig végezhető el. A trinomiális együtthatók kiszámítása azonban visszavezethető binomiális együtthatók szorzatára is, ami ezt a problémát megoldja.

Készítsünk táblázatot (I36.xls), amelynek egy adott mezőjébe beírva n (n= a+b+c, n \le20) értékét, az alábbi jellegű táblázatot kapjuk a trinomiális együtthatókról!

Példa: n=5 esetén a táblázat:

a/b012345
015101051
1520302050
21030301000
3102010000
4550000
5100000

(10 pont)


A számítástechnike feladatok megoldásai a következő címre küldendők:

Cím: szamtech@komal.hu

A beküldési határidő: 2002. december 13.