Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2002. december

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 695. Egy hatjegyű számot csökkentünk a számjegyeinek összegével, majd az így kapott számmal ugyanezt folytatjuk. Eljuthatunk-e így a 2002-höz?

C. 696. Oldjuk meg az |x+3|+p|x-2|=5 egyenletet, ahol a p valós paraméter.

C. 697. Az ABCD négyszögben AB=1, BC=2, \(\displaystyle CD=\sqrt{3}\), ABC\angle=120o, végül BCD\angle=90o. Mekkora az AD oldal hosszának pontos értéke?

C. 698. Egy háromszögben az AB oldal hossza 10 cm, az AC oldal hossza 5,1 cm, CAB\(\displaystyle \angle\)=58o. Határozzuk meg a BCA\angle-et 1 századfok pontossággal.

C. 699. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az 5-ös lottó sorsolásakor legalább egy olyan számot is kihúznak, amely az előző heti nyertes számok között szerepelt?

A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3592. Mikulás az eget kémleli. Másnap, a névnapján a lehető legmesszebbre szeretne eljutni, hogy ajándékot vigyen a gyerekeknek. Éjfélkor végre elkezd havazni. Mikulás a havazásnak igazán nagy szakértője. Rögtön látja, hogy ez az a fajta havazás, amely 24 órán át szakadatlanul tart. A havazás első 16 órájában a szánnal egyre gyorsabban lehet haladni. (A sebesség úgyszólván egyenletesen és folyamatosan növelhető.) A havazás kezdetén a szánt meg sem lehet mozdítani, de a 16. óra végén már repülhet, mint a szélvész. Csakhogy ezt követően a vastagodó hó egyre nagyobb akadályt jelent és az elért sebesség 8 óra alatt egyenletesen csökken egészen a nulláig. A szánt húzó rénszarvasokat Mikulás nem akarja 8 óránál tovább fárasztani. Mikor induljon el Mikulás, ha a lehető leghosszabb utat akarja megtenni? (4 pont)

B. 3593. Van-e olyan csupa különböző pozitív egész számból álló számtani sorozat, amelynek egyik tagja sem osztható 1-nél nagyobb négyzetszámmal? (3 pont)

B. 3594. Van-e olyan négyzetszám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában a számjegyek összege 2002? (4 pont)

B. 3595. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

2x4+2y4-4x3y+6x2y2-4xy3+7y2+7z2-14yz-70y+70z+175=0.

(3 pont)

Javasolták: Haragos Mátyás és Zsoldos Márton, Fazekas M. Fővárosi Gyak. Gimn.

B. 3596. Az R sugarú k1 kört a 2R sugarú k2 kör az E3 pontban kívülről érinti, a k1 és k2 köröket pedig ugyancsak kívülről érinti a 3R sugarú k3 kör. A k2 és k3 körök érintési pontja E1, a k3 és k1 körök érintési pontja pedig E2. Bizonyítsuk be, hogy az E1E2E3 háromszög körülírt köre egybevágó a k1 körrel. (3 pont)

Javasolta: Bíró Bálint, Eger

B. 3597. Igaz-e, hogy ha egy trapézhoz létezik olyan, az alapjaival párhuzamos egyenes, ami a kerületét és a területét is felezi, akkor a trapéz paralelogramma? (4 pont)

B. 3598. Adott ABC háromszög AB és BC oldalaira kifelé egyenlő szárú, 140o szárszögű háromszögeket rajzolunk. Ezek csúcsaiként kapjuk az A1 és a C1 pontokat. Ezután az AC oldalra is kifelé megrajzoljuk az ugyancsak egyenlő szárú, 80o szárszögű AB1C háromszöget. Mekkora a C1B1A1\angle? (4 pont)

B. 3599. Egy gömb köré egyenes csonkakúpot írunk. Milyen nagy lehet a csonkakúp térfogatának és felszínének aránya? (4 pont)

B. 3600. Adjunk meg a térbeli koordinátarendszerben olyan rácskockát, amelynek az élei nem párhuzamosak a koordinátatengelyekkel és a kocka élhossza egész szám. (5 pont)

B. 3601. Anna és Zsófi felváltva dob egy dobókockával, és a dobott számot mindig hozzáadják az eddig dobott számok összegéhez. Az nyer, akinek a dobása után először lesz az összeg 4-gyel osztható. Ha Anna kezd, mennyi a valószínűsége, hogy nyer? (5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 305. Igazoljuk, hogy tetszőleges n pozitív egészre

\(\displaystyle \sum_{\textstyle{k_1,\dots,k_n\geq0\atop k_1+2k_2+\dots+nk_n=n}} \frac{(k_1+k_2+\dots+k_n)!}{k_1!\cdot\ldots\cdot k_n!}=2^{n-1}.\)

A. 306. Az ABC háromszög magasságpontja M, beírt köre az AC és BC oldalakat a P, illetve Q pontokban érinti, középpontja O. Bizonyítsuk be, hogy ha M a PQ egyenesre esik, akkor az MO egyenes átmegy az AB oldal felezőpontján.

A. 307. Jelöljük an-nel az (x2+x+1)n polinomban az xn együtthatóját. Igazoljuk, hogy tetszőleges p>3 prímszám esetén ap\equiv1 (mod p2).

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve

A beküldési határidő: 2003. január 15.