Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. március

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 710. Egy iskolában a diákok átlagéletkora 16 év, a tanároké 38 év, az összes diák és tanár átlagéletkora együtt 17 év. A tanárok átlagosan 21 órát tanítanak hetente, a diákoknak pedig hetente átlagosan 29 órájuk van. Minden osztálynak ugyanannyi a létszáma. Hány gyerek jár egy osztályba ebben az iskolában?

C. 711. Egy pozitív számokból álló sorozat bármely három egymás utáni elemére teljesül, hogy a középső szám a két szélsőnek a szorzata. Az első öt elem, valamint az utána következő öt elem szorzata is 2. Határozzuk meg a sorozat első tíz tagját.

C. 712. Az ABC háromszögben a szokásos jelölésekkel \(\displaystyle \gamma\)=3\(\displaystyle \alpha\), a=27, c=48. Határozzuk meg a b oldal hosszát.

C. 713. Hány megoldása van a [0;2\(\displaystyle \pi\)] intervallumban a

sin 2002x=sin 2003x

egyenletnek?

C. 714. Egy tó vizében egy ottfelejtett labda úszott. A téli fagy beköszöntével a tó fenékig befagyott, a labdát kiemelték, és egy 8 cm mély, 24 cm átmérőjű mélyedés maradt a nyomában. Hány centiméter a labda sugara?

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3622. A Hupikék Törpikék 1001x945 méteres erdejében 1280 darab 1 méter átmérőjű fenyőfa él. A törpök szeretnének 7 darab 20x34 méteres teniszpályát kijelölni az erdőben. Lehetséges-e ez anélkül, hogy egyetlen fenyőt is ki kellene vágniuk?

(4 pont)

B. 3623. Igazoljuk, hogy \(\displaystyle \root3\of{\sqrt{5}+2}-\root3\of{\sqrt{5}-2}\) racionális szám.

(4 pont)

B. 3624. Az a és b pozitív számokra teljesül, hogy

\(\displaystyle \frac{{(a+b)}^n-{(a-b)}^n}{{(a+b)}^n+{(a-b)}^n}=\frac{a}{b}, \)

ahol n adott pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy a=b.

(4 pont)

B. 3625. Határozzuk meg annak a gömbnek a sugarát, amely érinti az egységnyi élű szabályos tetraéder három lapját, valamint a negyedik lap három oldalát.

(3 pont)

B. 3626. Az x₀,x₁,x₂,... sorozat első két tagja pozitív, és fennáll, hogy \(\displaystyle x_{n+2}=\frac{x_{n+1}+1}{x_n}\). Fejezzük ki a sorozat 2003-adik tagját x₀ és x₁ segítségével.

(3 pont)

B. 3627. Mutassuk meg, hogy ha a pozitív a, b, c, d számok szorzata 1, akkor

\(\displaystyle a^3+b^3+c^3+d^3\ge\max\left\{a+b+c+d;\frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}\right\}. \)

(4 pont)

Javasolta: Némethy Katalin, Budapest

B. 3628. Négy testvér egy konvex négyszög alakú telket örökölt. A telek szemközti oldalainak felezőpontjait összekötve négy négyszögre osztották az örökséget. Az első három testvér rendre 360, 720 és 900 m²-es telket kapott. Mekkora telek jutott a negyediknek?

(4 pont)

B. 3629. Bizonyítsuk be, hogy az ABCD konvex négyszögben

(AB+CD)²+ (BC+DA)²\(\displaystyle \ge\)(AC+BD)².

(4 pont)

B. 3630. Egy körvonalon adott három pont. Szerkesszünk a körön egy negyediket úgy, hogy a négy pont érintőnégyszöget határozzon meg.

(5 pont)

B. 3631. Legyen az f(x) tetszőleges másodfokú polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a legalább elsőfokú p(x) és a q(x) polinomok mindketten fölcserélhetők a kompozícióra nézve az f(x) polinommal, akkor egymással is fölcserélhetők.

(Lásd a B. 3621. feladatot a KöMaL 2003. februári számának 105. oldalán.)

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 314. Adott egy egységnyi oldalú négyzetben egy töröttvonal úgy, hogy bármely egyenes, amely egy csúcsára sem illeszkedik, legfeljebb hét oldalát metszi. Legfeljebb milyen hosszú lehet a töröttvonal?

Soukup Lajos ötletéből

A. 315. Egy szabályos (n²+n+1)-szögnek kiválasztottuk n+1 csúcsát. Bizonyítsuk be, hogy ha az n szám 12k-2 alakú, akkor a kiválasztott csúcsok közötti távolságok nem lehetnek mind különbözők.

A. 316. Adott n pozitív egész számhoz tekintsük azon A\(\displaystyle \subset\){1,2,...,n} halmazokat, amelyekben az x+y\(\displaystyle \equiv\)u+v (mod n) kongruenciának nincs más megoldása, mint az x=u, y=v, illetve x=v, y=u triviális megoldások. Legyen f(n) az ilyen halmazok elemszámának maximuma.

a) Bizonyítsuk be, hogy \(\displaystyle f(n)<\sqrt{n}+1\).

b) Mutassunk példát végtelen sok olyan n-re, amikor \(\displaystyle f(n\)\sqrt{n}-1">.

A 2002. évi Schweitzer-verseny 4. feladata nyomán

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2003. április 15.