Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. március
Kérjük, olvassa el a versenykiírást.
![]() |
A C pontversenyben kitűzött gyakorlatokMinden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár. |
C. 710. Egy iskolában a diákok átlagéletkora 16 év, a tanároké 38 év, az összes diák és tanár átlagéletkora együtt 17 év. A tanárok átlagosan 21 órát tanítanak hetente, a diákoknak pedig hetente átlagosan 29 órájuk van. Minden osztálynak ugyanannyi a létszáma. Hány gyerek jár egy osztályba ebben az iskolában?
C. 711. Egy pozitív számokból álló sorozat bármely három egymás utáni elemére teljesül, hogy a középső szám a két szélsőnek a szorzata. Az első öt elem, valamint az utána következő öt elem szorzata is 2. Határozzuk meg a sorozat első tíz tagját.
C. 712. Az ABC háromszögben a szokásos jelölésekkel γ=3α, a=27, c=48. Határozzuk meg a b oldal hosszát.
C. 713. Hány megoldása van a [0;2π] intervallumban a
sin 2002x=sin 2003x
egyenletnek?
C. 714. Egy tó vizében egy ottfelejtett labda úszott. A téli fagy beköszöntével a tó fenékig befagyott, a labdát kiemelték, és egy 8 cm mély, 24 cm átmérőjű mélyedés maradt a nyomában. Hány centiméter a labda sugara?
![]() |
A B pontversenyben kitűzött feladatokA B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe. |
B. 3622. A Hupikék Törpikék 1001x945 méteres erdejében 1280 darab 1 méter átmérőjű fenyőfa él. A törpök szeretnének 7 darab 20x34 méteres teniszpályát kijelölni az erdőben. Lehetséges-e ez anélkül, hogy egyetlen fenyőt is ki kellene vágniuk?
(4 pont)
B. 3623. Igazoljuk, hogy 3√√5+2−3√√5−2 racionális szám.
(4 pont)
B. 3624. Az a és b pozitív számokra teljesül, hogy
(a+b)n−(a−b)n(a+b)n+(a−b)n=ab,
ahol n adott pozitív egész. Bizonyítsuk be, hogy a=b.
(4 pont)
B. 3625. Határozzuk meg annak a gömbnek a sugarát, amely érinti az egységnyi élű szabályos tetraéder három lapját, valamint a negyedik lap három oldalát.
(3 pont)
B. 3626. Az x0,x1,x2,... sorozat első két tagja pozitív, és fennáll, hogy xn+2=xn+1+1xn. Fejezzük ki a sorozat 2003-adik tagját x0 és x1 segítségével.
(3 pont)
B. 3627. Mutassuk meg, hogy ha a pozitív a, b, c, d számok szorzata 1, akkor
a3+b3+c3+d3≥max{a+b+c+d;1a+1b+1c+1d}.
(4 pont)
Javasolta: Némethy Katalin, Budapest
B. 3628. Négy testvér egy konvex négyszög alakú telket örökölt. A telek szemközti oldalainak felezőpontjait összekötve négy négyszögre osztották az örökséget. Az első három testvér rendre 360, 720 és 900 m2-es telket kapott. Mekkora telek jutott a negyediknek?
(4 pont)
B. 3629. Bizonyítsuk be, hogy az ABCD konvex négyszögben
(AB+CD)2+ (BC+DA)2≥(AC+BD)2.
(4 pont)
B. 3630. Egy körvonalon adott három pont. Szerkesszünk a körön egy negyediket úgy, hogy a négy pont érintőnégyszöget határozzon meg.
(5 pont)
B. 3631. Legyen az f(x) tetszőleges másodfokú polinom. Bizonyítsuk be, hogy ha a legalább elsőfokú p(x) és a q(x) polinomok mindketten fölcserélhetők a kompozícióra nézve az f(x) polinommal, akkor egymással is fölcserélhetők.
(Lásd a B. 3621. feladatot a KöMaL 2003. februári számának 105. oldalán.)
(5 pont)
![]() |
Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatokMinden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár. |
A. 314. Adott egy egységnyi oldalú négyzetben egy töröttvonal úgy, hogy bármely egyenes, amely egy csúcsára sem illeszkedik, legfeljebb hét oldalát metszi. Legfeljebb milyen hosszú lehet a töröttvonal?
Soukup Lajos ötletéből
A. 315. Egy szabályos (n2+n+1)-szögnek kiválasztottuk n+1 csúcsát. Bizonyítsuk be, hogy ha az n szám 12k-2 alakú, akkor a kiválasztott csúcsok közötti távolságok nem lehetnek mind különbözők.
A. 316. Adott n pozitív egész számhoz tekintsük azon A⊂{1,2,...,n} halmazokat, amelyekben az x+y≡u+v (mod n) kongruenciának nincs más megoldása, mint az x=u, y=v, illetve x=v, y=u triviális megoldások. Legyen f(n) az ilyen halmazok elemszámának maximuma.
a) Bizonyítsuk be, hogy f(n)<√n+1.
b) Mutassunk példát végtelen sok olyan n-re, amikor f(n\sqrt{n}-1">.
A 2002. évi Schweitzer-verseny 4. feladata nyomán
A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:
- KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32. 1518
- megoldas@komal.elte.hu (Az interneten keresztül történő
beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)