Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. szeptember

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 725. Egy 3x3-as táblázat minden mezőjére elhelyeztünk egy 1 forintost írással fölfelé. Legalább hány érmét kell megfordítanunk ahhoz, hogy ne legyen egy egyenesen (sor, oszlop, átló) sem három írás, sem három fej?

C. 726. Van-e olyan szabályos sokszög, amelyben a legrövidebb átló hossza egyenlő a sokszög körülírt körének a sugarával?

C. 727. Péter telefonszáma körzetszám nélkül 312837, Pálé pedig 310650. Ha ugyanazzal a háromjegyű számmal osztjuk el ezeket a telefonszámokat, akkor egyenlő maradékokat kapunk. Ez a maradék városuk körzetszáma. Mennyi ez a maradék?

C. 728. Az ABCD konvex négyszög A és B csúcsánál lévő szögei egyenlők, C-nél fekvő szöge derékszög. Az AD oldal merőleges a BD átlóra. A BC oldal hossza megegyezik a CD oldaléval. Hányszorosa ez a közös hossz az AD oldal hosszának?

C. 729. Oldjuk meg a 2x lg x +x -1 = 0 egyenletet a valós számok halmazán.

Gyanó Éva (Budapest) javaslata nyomán

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3652. Minden pozitív egész számot piros vagy kék színűre festettünk úgy, hogy különböző színű számok összegének a színe kék, a szorzatuk színe pedig piros.

Milyen színű két piros szám szorzata?

(3 pont)

B. 3653. Mi azon pontok mértani helye egy adott négyzet síkjában, amelyekből a négyzet 30^o-os szögben látszik?

(3 pont)

B. 3654. Bizonyítsuk be, hogy m²+n²+m+n-1 semmilyen m és n egész számra sem osztható 9-cel.

(3 pont)

B. 3655. A körbe írható konvex ABCDEF hatszögben AB=BC=a, CD=DE=b, végül EF=FA=c. Bizonyítsuk be, hogy a BDF háromszög területe fele a hatszög területének.

(4 pont)

B. 3656. Ha az F számot a-alapú számrendszerben írjuk fel, akkor a \(\displaystyle 0{,}3737\ldots=0{,}\dot3\dot7\) végtelen szakaszos törtalakot kapjuk, a G szám esetén pedig ez az alak \(\displaystyle 0{,}7373\ldots=0{,}\dot7\dot3\).

Ugyanezek a számok b-alapú számrendszerben felírva \(\displaystyle F=0{,}2525\ldots=0{,}\dot2\dot5\) és \(\displaystyle G=0{,}5252\ldots=0{,}\dot5\dot2\). Határozzuk meg az a és a b számokat.

(4 pont)

B. 3657. Van-e olyan derékszögű háromszög, melynek beírt, valamint három hozzáírt körének sugara egy számtani sorozat négy egymást követő eleme?

(4 pont)

B. 3658. Milyen arányban osztja az ABCD szabályos tetraéder A csúcsából a BCD lapra állított merőleges szakaszt az a P pont, melyre a PB, PC és PD egyenesek páronként merőlegesek egymásra?

(3 pont)

B. 3659. Legyen t adott valós szám. Bontsuk fel valós együtthatós másodfokú tényezők szorzatára az x⁴+tx²+1 kifejezést.

(4 pont)

B. 3660. Egy körvonalat az X, Y és Z pontok három olyan ívre osztanak, amelyekhez tartozó középponti szögek 60^o, 100^o és 200^o.

Ha A, B és C egy háromszög csúcsai, akkor jelölje M_A és M_B a háromszög A, illetve B csúcsából induló magasságvonalnak a háromszög köré írt körrel vett metszéspontját, F_C pedig a C csúcsnál lévő szög szögfelezőjének a körülírt körrel vett metszéspontját.

Határozzuk meg az összes olyan hegyesszögű ABC háromszöget, amelyre az M_A, M_B és F_C pontok valamilyen sorrendben megegyeznek az X, Y és Z pontokkal.

(4 pont)

B. 3661. Legyen x₁=1, y₁=2, z₁=3, továbbá minden pozitív egész n-re \(\displaystyle x_{n+1}=y_n+\frac{1}{z_n}\), \(\displaystyle y_{n+1}=z_n+ \frac{1}{x_n}\), \(\displaystyle z_{n+1}=x_n+\frac{1}{y_n}\). Bizonyítsuk be, hogy az x₂₀₀, y₂₀₀ és z₂₀₀ számok közül legalább az egyik nagyobb, mint 20.

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 323. Az ABC háromszög izogonális pontja I (az a pont a háromszög belsejében, amelyre AIB\(\displaystyle \angle\)=BIC\(\displaystyle \angle\)=CIA\(\displaystyle \angle\)=120^o). Bizonyítsuk be, hogy az ABI, BCI és CAI háromszögek Euler-egyenesei egy ponton mennek át.

A. 324. Igazoljuk, hogy tetszőleges a, b, c pozitív valós számok esetén

\(\displaystyle \frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\ge\frac{3}{1+abc}. \)

A. 325. Egy n-elemű A halmaznak kiválasztottuk néhány 4-elemű részhalmazát úgy, hogy bármelyik két kiválasztott négyesnek legfeljebb két közös eleme van. Bizonyítsuk be, hogy A-nak létezik olyan legalább \(\displaystyle \root3\of{6n}\) elemű részhalmaza, amelynek egyik négyes sem része.

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2003. október 15.