Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. szeptember

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 725. Egy 3x3-as táblázat minden mezőjére elhelyeztünk egy 1 forintost írással fölfelé. Legalább hány érmét kell megfordítanunk ahhoz, hogy ne legyen egy egyenesen (sor, oszlop, átló) sem három írás, sem három fej?

C. 726. Van-e olyan szabályos sokszög, amelyben a legrövidebb átló hossza egyenlő a sokszög körülírt körének a sugarával?

C. 727. Péter telefonszáma körzetszám nélkül 312837, Pálé pedig 310650. Ha ugyanazzal a háromjegyű számmal osztjuk el ezeket a telefonszámokat, akkor egyenlő maradékokat kapunk. Ez a maradék városuk körzetszáma. Mennyi ez a maradék?

C. 728. Az ABCD konvex négyszög A és B csúcsánál lévő szögei egyenlők, C-nél fekvő szöge derékszög. Az AD oldal merőleges a BD átlóra. A BC oldal hossza megegyezik a CD oldaléval. Hányszorosa ez a közös hossz az AD oldal hosszának?

C. 729. Oldjuk meg a 2x lg x +x -1 = 0 egyenletet a valós számok halmazán.

Gyanó Éva (Budapest) javaslata nyomán


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3652. Minden pozitív egész számot piros vagy kék színűre festettünk úgy, hogy különböző színű számok összegének a színe kék, a szorzatuk színe pedig piros.

Milyen színű két piros szám szorzata?

(3 pont)

B. 3653. Mi azon pontok mértani helye egy adott négyzet síkjában, amelyekből a négyzet 30o-os szögben látszik?

(3 pont)

B. 3654. Bizonyítsuk be, hogy m2+n2+m+n-1 semmilyen m és n egész számra sem osztható 9-cel.

(3 pont)

B. 3655. A körbe írható konvex ABCDEF hatszögben AB=BC=a, CD=DE=b, végül EF=FA=c. Bizonyítsuk be, hogy a BDF háromszög területe fele a hatszög területének.

(4 pont)

B. 3656. Ha az F számot a-alapú számrendszerben írjuk fel, akkor a 0,3737=0,˙3˙7 végtelen szakaszos törtalakot kapjuk, a G szám esetén pedig ez az alak 0,7373=0,˙7˙3.

Ugyanezek a számok b-alapú számrendszerben felírva F=0,2525=0,˙2˙5 és G=0,5252=0,˙5˙2. Határozzuk meg az a és a b számokat.

(4 pont)

B. 3657. Van-e olyan derékszögű háromszög, melynek beírt, valamint három hozzáírt körének sugara egy számtani sorozat négy egymást követő eleme?

(4 pont)

B. 3658. Milyen arányban osztja az ABCD szabályos tetraéder A csúcsából a BCD lapra állított merőleges szakaszt az a P pont, melyre a PB, PC és PD egyenesek páronként merőlegesek egymásra?

(3 pont)

B. 3659. Legyen t adott valós szám. Bontsuk fel valós együtthatós másodfokú tényezők szorzatára az x4+tx2+1 kifejezést.

(4 pont)

B. 3660. Egy körvonalat az X, Y és Z pontok három olyan ívre osztanak, amelyekhez tartozó középponti szögek 60o, 100o és 200o.

Ha A, B és C egy háromszög csúcsai, akkor jelölje MA és MB a háromszög A, illetve B csúcsából induló magasságvonalnak a háromszög köré írt körrel vett metszéspontját, FC pedig a C csúcsnál lévő szög szögfelezőjének a körülírt körrel vett metszéspontját.

Határozzuk meg az összes olyan hegyesszögű ABC háromszöget, amelyre az MA, MB és FC pontok valamilyen sorrendben megegyeznek az X, Y és Z pontokkal.

(4 pont)

B. 3661. Legyen x1=1, y1=2, z1=3, továbbá minden pozitív egész n-re xn+1=yn+1zn, yn+1=zn+1xn, zn+1=xn+1yn. Bizonyítsuk be, hogy az x200, y200 és z200 számok közül legalább az egyik nagyobb, mint 20.

(5 pont)


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 323. Az ABC háromszög izogonális pontja I (az a pont a háromszög belsejében, amelyre AIB=BIC=CIA=120o). Bizonyítsuk be, hogy az ABI, BCI és CAI háromszögek Euler-egyenesei egy ponton mennek át.

A. 324. Igazoljuk, hogy tetszőleges a, b, c pozitív valós számok esetén

1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)31+abc.

A. 325. Egy n-elemű A halmaznak kiválasztottuk néhány 4-elemű részhalmazát úgy, hogy bármelyik két kiválasztott négyesnek legfeljebb két közös eleme van. Bizonyítsuk be, hogy A-nak létezik olyan legalább 36n elemű részhalmaza, amelynek egyik négyes sem része.


A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve
    megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2003. október 15.