Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. november

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 735. Az egységnyi oldalú ABCD négyzet AB, BC, CD, DA oldalán fölvesszük az A₁, B₁, C₁, D₁ pontokat úgy, hogy \(\displaystyle AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=\frac{1}{5}\). Mekkora az A₁B₁C₁D₁ négyszög területe?

C. 736. Az internetről egy 1,5 MB-os fájlt töltünk le a számítógépünkre. A művelet során a program a letöltés addigi átlagos sebessége alapján folyamatosan megbecsüli a még hátralevő időt. A képernyőre pillantva azt látjuk, hogy a fájlnak pontosan a felét már letöltötte a program, s ekkor a műveletből hátralevő időt pontosan 2 percre becsüli. Ezután bármely t idő elteltével azt tapasztaljuk, hogy (a hálózat leterheltsége miatt) még mindig 2 percet ír ki a program a fájl letöltéséből hátralevő időként. Adjuk meg t függvényeként a fájl már letöltött részének méretét.

Javasolta: Koncz Levente, Budapest

C. 737. Egy cukorkát gyártó vállalatnál a legújabb terméket téglatest alakú dobozokba kívánják csomagolni, a 10 dobozból összeálló gyűjtőcsomagokat pedig vékony fóliával burkolni.

Az igazgató szerint előnyös lenne, ha a gyűjtőcsomag geometriailag hasonló volna a cukorkás dobozhoz. Megvalósítható-e az elképzelése?

C. 738. Milyen nagy lehet egy háromszög területe, ha egyik oldalának a hossza sem nagyobb 2-nél?

C. 739. Egy ,,csuklós'' deltoid oldalai 3 cm és 4 cm hosszúak, szögei változtathatók. Mekkora a konvex deltoid átlóinak hossza, ha a területe fele az elérhető legnagyobb értéknek?

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3672. Bizonyítandó, hogy minden háromszögből levágható két háromszög úgy, hogy a megmaradó ötszög egy alkalmas pontjából az ötszög minden oldalát hegyesszögben lássuk.

(3 pont)

Surányi János (Budapest)

B. 3673. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert a pozitív valós számok körében:

x²+y²+xy =7, x²+z²+xz =13, y²+z²+yz =19.

(4 pont)

B. 3674. Milyen k pozitív egész szám esetén lehet az első k darab prímszám szorzata két pozitív köbszám összege?

(4 pont)

B. 3675. Egy háromszöget a súlyvonalai hat háromszögre osztanak. Lehet-e ezek közül valamelyik hasonló az eredeti háromszöghöz?

(3 pont)

Bártfai Pál (Budapest)

B. 3676. Bergengóciában a totón négy mérkőzésre lehet tippelni. Betli Benő - nevéhez méltó módon - szeretne barátai előtt egy olyan szelvénnyel büszkélkedni, amelyen egyetlen találat sincs. Hány szelvény ügyes kitöltésével mehet biztosra?

(5 pont)

Dobos Sándor (Budapest)

B. 3677. Határozzuk meg mindazokat a pozitív egészekből álló (\(\displaystyle \alpha\);\(\displaystyle \beta\)) számpárokat, amelyekre a pozitív egészek halmazát fel lehet bontani két diszjunkt halmazra, A-ra és B-re úgy, hogy {\(\displaystyle \alpha\)a  |  a\(\displaystyle \in\)A}= {\(\displaystyle \beta\)b |  b\(\displaystyle \in\)B} teljesüljön.

(4 pont)

IMC10, Kolozsvár, 2003

B. 3678. A konvex ABCD négyszög A csúcsán át a BD átlóval és B csúcsán át az AC átlóval párhuzamosan húzott egyenesek metszéspontja E. Bizonyítsuk be, hogy az EC egyenes ugyanolyan arányban osztja a BD átlót, mint az ED egyenes az AC átlót.

(3 pont)

Surányi János (Budapest)

B. 3679. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges a, b, c, d pozitív számokra:

\(\displaystyle \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\ge\frac{64}{a+b+c+d}. \)

(4 pont)

B. 3680. A hegyesszögű ABC háromszög körülírt köréhez érintőket húzunk az A, B és C csúcsokban. Tekintsük azt a PQR háromszöget, amelynek ezek az érintők az oldalai, a betűzést úgy választva, hogy C a PQ oldalon helyezkedjék el, B a PR oldalon, végül az A a QR oldalon.

Jelölje C₁ az ABC háromszög C-ből induló magasságának a talppontját az AB oldalon. Bizonyítsuk be, hogy CC₁ felezi a QC₁P szöget.

(5 pont)

Gillis-Turán verseny

B. 3681. Egy tetraéder hat éle közül ötnek a hosszáról tudjuk, hogy nem nagyobb, mint 2. Igazoljuk, hogy a tetraéder térfogata legfeljebb 1.

(4 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 329. Adott a síkban a k₂ kör és a belsejében a k₁ kör, valamint a P és Q pontok úgy, hogy a P pont a k₁ belsejében, a Q pont pedig a k₂ körön kívül helyezkedik el. Húzzunk P-n át egy tetszőleges e egyenest, amely nem megy át a Q ponton; legyenek k₁ és e metszéspontjai A és B. Az ABQ háromszög körülírt köre messe a k₂ kört a C és D pontokban. Mutassuk meg, hogy az így kapható CD szakaszok egy ponton mennek át.

A. 330. A Lucas-számok sorozatát a következő rekurzióval definiáljuk: L₀=2, L₁=1, L_n+1=L_n+L_n-1. Mutassuk meg, hogy tetszőleges p>3 prímszám esetén L_(p+1)/2^p-1 osztható L_p-vel.

A. 331. Bergengócia statisztikai hivatala szerint ha két lakos ismeri egymást, akkor nekik pontosan egy közös ismerősük van, ha nem ismerik egymást, akkor legalább tíz közös ismerősük van.

Lehetséges-e, hogy a statisztikai hivatal információi pontosak?

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2003. december 15.