A számítástechnika-versenyben kitűzött feladatok 2003. december

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

I. 64. Legyen N pozitív egész szám. N-edrendű Farey-sorozatnak nevezzük a 0 és 1 közötti olyan nem egyszerűsíthető törtek növekvő sorozatát, amelyek nevezője kisebb vagy egyenlő, mint N. Például:

$\displaystyle F_6=\frac{0}{1},\,\frac{1}{6},\,\frac{1}{5},\,\frac{1}{4},\, \frac{1}{3},\,\frac{2}{5},\,\frac{1}{2},\,\frac{3}{5},\, \frac{2}{3},\,\frac{3}{4},\,\frac{4}{5},\,\frac{5}{6},\, \frac{1}{1}.$

Készítsünk programot (i64.pas, ...), amely beolvassa N értékét (1 $\displaystyle \le$N $\displaystyle \le$100), majd kiírja az N-edrendű Farey-sorozatot.

(10 pont)

I. 65. N+1 ismert síkbeli ponthoz (x_i;y_i) egy azokat szépen közelítő Bézier-görbét rajzolhatunk. A Bézier-görbe egy paraméteres görbe, ahol x-et és y-t az u paraméter függvényében fejezzük ki (0$\displaystyle \le$u $\displaystyle \le$1):

$\displaystyle x(u)=\sum_{i=0}^nx_i{n\choose i}u^i(1-u)^{n-i},\quad y(u)=\sum_{i=0}^ny_i{n\choose i}u^i(1-u)^{n-i}.$

Készítsünk programot (i65.pas, ...), amely beolvassa az N+1 darab pont képernyő-koordinátáit, majd kirajzolja a pontokat és a hozzájuk tartozó Bézier-görbét.

Példa:

N=14 Pontok: (0,0),(16,40),(25,45), (36,65),(49,70),(64,80), (81,90),(100,100),(121,120), (144,120),(169,120),(196,140), (225,150),(256,160),(289,170)

(10 pont)

I. 66. Az Euler-háromszög hasonló a Pascal-háromszöghöz, az ún. Euler számokat tartalmazza. E(n,k)-t 0 $\displaystyle \le$n $\displaystyle \le$15, 0 $\displaystyle \le$k $\displaystyle \le$n értékekre értelmezzük: E(n,k) az első n természetes szám azon permutációinak száma, amelyekben pontosan k emelkedés van, vagyis k-szor teljesül, hogy egy elem nagyobb a rákövetkező elemnél.

Készítsünk táblázatot (i66.xls), amely az A1 cellába írt m (0$\displaystyle \le$m$\displaystyle \le$15) értékre a táblázat n+1. sorába írja E(n,k) (n=0,1,...,m) értékeit. Csak az érvényes mezőkben jelenjen meg szám.

Példa m=10-re:

(10 pont)

A számítástechnika feladatok megoldásai a következő címre küldendők:

A beküldési határidő: 2004. január 13.