Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. január

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 745. Van-e 2004 olyan pozitív egész szám, amelyek összege egyenlő a szorzatukkal?

C. 746. Az \(\displaystyle \overline{ababab}\) alakú hatjegyű számok között hány

a) 217-tel;

b) 218-cal osztható szám van?

C. 747. Valamely egyenlő szárú háromszög alapja egységnyi, szárainak hossza b. Mekkora annak az egyenlő szárú háromszögnek az alapja, amelynek szárszöge egyenlő az előbbi háromszög alapon fekvő szögével és szárai egységnyiek?

C. 748. Oldjuk meg az egész számok halmazán a következő egyenletet:

\(\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{3}\,\big(x-\sqrt{x^2-3x-12}\,\big)\right)=0. \)

C. 749. Az ábrán látható 6 egység élű kocka AE élének harmadolópontjai K és L. A kockát az LHG és a KFG síkokkal részekre osztjuk. Mekkora a B csúcsot tartalmazó rész térfogata?

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3692. Két dobozban kavicsok vannak, az egyikben p, a másikban q darab. Egy lépésben vagy mindkét dobozból elvehetünk egy-egy kavicsot, vagy pedig az egyik doboz tartalmát megháromszorozhatjuk. Elérhető-e ilyen lépések alkalmas sorozatával, hogy mindkét doboz kiürüljön, ha

a) p=100, q=200;

b) p=101, q=200?

(4 pont)

B. 3693. A pozitív egész k számot a p prímszámmal osztva a maradék 6. Ugyanennyi maradékot kapunk akkor is, ha az 1000-k számot osztjuk p-vel; tudjuk ezenkívül, hogy 10 000-k osztható p-vel. Melyik ez a p prímszám?

(3 pont)

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

B. 3694. Adott az ABCD konvex négyszög. Szerkesszük meg azt a négy, A csúcson átmenő egyenest, amelyek a négyszöget öt egyenlő területű részre osztják.

(3 pont)

B. 3695. Legyen az n pozitív egész szám. Igazoljuk, hogy 5ⁿ-8n²+4n-1 osztható 64-gyel.

(3 pont)

B. 3696. Adott egy egyenesen néhány nyílt félegyenes; ezek végpontjai az egyenest részekre osztják. Igazoljuk, hogy a pontosan q számú félegyenes által lefedett részek száma legfeljebb q+1.

(4 pont)

B. 3697. Oldjuk meg a következő egyenletet: \(\displaystyle x^2+ \left(\frac{5x}{x-5}\right)^{\!\!2}=11\).

(4 pont)

B. 3698. Szerkesszünk négyszöget, ha adottak az oldalaira kifelé írt szabályos háromszögeknek a négyszög csúcsaitól különböző csúcsai. A szerkeszthetőség feltételeinek vizsgálatától ezúttal eltekintünk.

(5 pont)

B. 3699. Az egységsugarú kör AB átmérőjén adott a P pont. A P ponton átmenő szelő a C és D pontokban metszi a kört. Milyen nagy lehet az ABCD négyszög területe?

(5 pont)

B. 3700. Bizonyítsuk be, hogy az x₁,x₂,...,x_n pozitív számokra

\(\displaystyle \frac{x_1^3}{x_1^2+x_1x_2+x_2^2}+ \frac{x_2^3}{x_2^2+x_2x_3+x_3^2}+\ldots+ \frac{x_n^3}{x_n^2+x_nx_1+x_1^2}\ge\frac{1}{3}(x_1+x_2+\ldots+ x_n). \)

(5 pont)

Gillis-Turán verseny

B. 3701. Legyen P egy kocka tetszőleges belső pontja. Mutassuk meg, hogy legalább hat olyan tetraéder van, melynek minden csúcsa a kockának is csúcsa, továbbá tartalmazza a P pontot.

(4 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 335. Pisti választ egy egész számot, majd ennek néhány példányából a négy alapművelet és zárójelek felhasználásával pozitív egész számokat készít. Például

\(\displaystyle \frac{100\cdot100}{\frac{100}{100}- \frac{100}{100+100}}=20\;000 \)

Egyszer olyan pozitív egész számot sikerült felírnia, amelyben az n szám k-szor fordult elő és amely kisebb, mint \(\displaystyle \frac{|n|}{2^k}\). Igazoljuk, hogy Pisti azonosságot írt fel, azaz ha az n helyére tetszőleges másik értéket ír, akkor a nem értelmezett kifejezésektől eltekintve mindig ugyanazt az eredményt kapja.

Szobonya László ötletéből

A. 336. Legyen a olyan páratlan, b pedig páros pozitív egész, amelyekre a²+b²=p prímszám. Bizonyítsuk be, hogy az x²-py²=a egyenletnek létezik egész megoldása.

A. 337. Adott a síkban néhány nyílt félsík, melyek határoló egyenesei a síkot konvex tartományokra osztják. Megadandó olyan C(q) másodfokú polinom, amelyre tetszőleges q\(\displaystyle \ge\)1 egész esetén igaz, hogy ha a félsíkok a sík minden pontját legalább q-szor lefedik, akkor a pontosan q-szor lefedett pontok halmaza legfeljebb C(q) darab tartomány egyesítése.

Schweitzer-verseny, 2003

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2004. február 15.