Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. március

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 755. Hányféleképpen lehet 1000 Ft-ot felváltani kizárólag 1, 2 és 5 Ft-os érmék felhasználásával?

C. 756. Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:

\(\displaystyle \frac{|1-x|}{1-|x|}<\frac{1+|x|}{|1+x|}. \)

C. 757. n³ darab egységkockából egy n élű nagy kockát állítottunk össze. Van-e olyan n érték, melyre a nagy kocka testátlói által metszett kis kockák száma éppen fele a testátlók által nem metszett kis kockák számának?

C. 758. Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 1 és \(\displaystyle \sqrt2\). A háromszög legkisebb szöge \(\displaystyle \alpha\). Mekkora a cos 8\(\displaystyle \alpha\) pontos értéke?

C. 759. Az (x;y) koordinátasík minden P(x;y) pontjához hozzárendeljük a P'(x-y;-y) pontot. Melyek azok az egyenesek, amelyek ezen transzformáció során önmagukba mennek át?

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3712. Egy vendégség nyolc résztvevője egymás közt új ismeretségeket kötött az este folyamán. Távozáskor mindegyikük felírta egy lapra, hogy hány emberrel ismerkedett meg a vendégek közül. Az alábbi számok kerültek a papírra: 1,2,3,3,5,6,6,6. Bizonyítsuk be, hogy volt olyan résztvevő, aki rosszul számolt. (Az ismeretségek kölcsönösek.)

(3 pont)

B. 3713. Egy konvex ABCD négyszög átlóinak metszéspontja M. Bizonyítsuk be, hogy ha M rajta van az ABM háromszög súlypontját a CDM háromszög súlypontjával összekötő egyenesen, akkor a négyszög trapéz.

(3 pont)

Javasolta: Holló Gábor, Budapest

B. 3714. Szerkesszünk háromszöget, ha adott a kerülete, egy oldala és az adott oldallal szemközti szöge.

(4 pont)

B. 3715. Legyen x pozitív szám, n pedig 1-nél nagyobb egész. Bizonyítsuk be, hogy

\(\displaystyle \frac{x^{n-1}-1}{n-1}\le\frac{x^n-1}{n}. \)

(4 pont)

B. 3716. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:

\(\displaystyle x^2+7y+2=2z+4\sqrt{7x-3},\)

\(\displaystyle y^2+7z+2=2x+4\sqrt{7y-3},\)

\(\displaystyle z^2+7x+2=2y+4\sqrt{7z-3}.\)

(3 pont)

B. 3717. Adjuk meg azt a legkisebb kerületű egységnyi területű H téglalapot, amelyhez létezik olyan H₁ téglalap, amelynek a kerülete 50%-kal kisebb, mint a H kerülete, területe pedig 50%-kal nagyobb, mint a H területe.

(4 pont)

B. 3718. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög körülírható körének középpontján áthaladó tetszőleges egyenesnek a középvonalakra vett tükörképei egy ponton mennek át.

(5 pont)

Javasolta: Csík Zoltán, Budapest

B. 3719. Adott öt pont egy gömb felületén. Bizonyítsuk be, hogy van olyan zárt félgömbfelület, amely e pontok közül legalább négyet tartalmaz.

(4 pont)

B. 3720. Létezik-e olyan u, v valós számpár, amelyre

a) u+v racionális, de minden n\(\displaystyle \ge\)2 egész szám esetén uⁿ+vⁿ irracionális;

b) u+v irracionális, de minden n\(\displaystyle \ge\)2 egész szám esetén uⁿ+vⁿ racionális?

(5 pont)

B. 3721. Tekintsünk egy S halmazt és a halmazon egy kétváltozós * műveletet (tehát bármely két S-beli a, b esetén a*b is S-beli). Tegyük föl, hogy (a*b)*a=b teljesül minden S-beli a, b-re. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a*(b*a)=b is teljesül minden S-beli a, b-re.

(4 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 341. Milyen n és k pozitív egészek esetén lehet az 1,2,...,n számokat k csoportra osztani úgy, hogy a számok összege minden csoportban ugyanannyi legyen?

A. 342. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges 4k+1 alakú p prímszámra

\(\displaystyle \sum_{n=1}^{p-1}\big[\sqrt{np}\;\big]=\frac{(p-1)(2p-1)}{3}. \)

A. 343. Az a és b pozitív valós számok összege 1-nél kisebb. Határozzuk meg az összes olyan folytonos \(\displaystyle G\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) függvényt, amelyre tetszőleges x valós szám esetén

g(g(x))=ag(x)+bx.

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2004. április 15.