Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. május

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 765. Egy kihúzható kerek asztal átmérője 1 méter. Kihúzott állapotban az asztallap két félkör alakú része közé egy 1 m x0,5 m-es téglalap illeszkedik. Van-e ekkor az asztallapnak két, egymástól 150 cm-nél távolabb lévő pontja?

C. 766. A konyhában lévő falióra naponta 2 másodpercet késik, a szobában lévő antik óra naponta 15 másodpercet siet. Vasárnap délben a falióra 12 óra 1 percet, az antik óra 11 óra 59 percet mutat. Mikor lesz a hét folyamán az órák által mutatott és a valódi idő közötti különbségek négyzetösszege a legkisebb?

C. 767. Határozzuk meg az összes olyan nem negatív a, b, c számot, amelyre: $\displaystyle \sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}$.

C. 768. Két egységnyi sugarú kör az A és B pontokban metszi egymást. Egyik közös érintőjük az E és F pontokban érinti a köröket. Mekkora lehet annak a körnek a sugara, amelyik áthalad az E, F és A pontokon?

C. 769. Egy 20 cm sugarú henger az e egyenes mentén érinti a sík talajt. Az e egyenesre merőlegesen egy 50 cm hosszú pálcát támasztunk a hengernek úgy, hogy a pálca talajon lévő végpontja 40 cm-re van az e egyenestől. Milyen magasan van a pálca másik végpontja?

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3732. Az ABC háromszög beírt körének a középpontja O és az AO, illetve a BO egyenesek az A₁, illetve a B₁ pontokban metszik a BC, illetve az AC oldalakat. Tudjuk, hogy OA₁ = OB₁. Következik-e ebből, hogy a háromszög egyenlő szárú?

(3 pont)

B. 3733. Van-e olyan m egész szám, amelyre 100+m^.101 és 101-m^.100 nem relatív prímek?

(4 pont)

B. 3734. Van-e olyan derékszögű háromszög, melynek oldalai egész számok és amelyet egyik befogója mint tengely körül megforgatva a keletkező forgáskúp felszínének és térfogatának mérőszáma egyenlő?

(3 pont)

Javasolta: Lorántfy László, Dabas

B. 3735. Az x_n sorozat első két eleme x₁=1001, x₂=1003 és ha n $\displaystyle \ge$1, akkor $\displaystyle x_{n+2}= \frac{x_{n+1}-2004}{x_n}$. Mennyi a sorozat első 2004 elemének az összege?

(4 pont)

B. 3736. Az egységnyi oldalú ABCD négyzet CD oldalán adott az N, CB oldalán pedig az M pont úgy, hogy az MCN háromszög kerülete 2. Mekkora az MAN$\displaystyle \angle$?

(4 pont)

B. 3737. Egy konvex négyszög bármely két szemközti oldalára teljesül, hogy az oldalak középpontjai közötti távolság fele a hosszuk összegének. Bizonyítandó, hogy a négyszög rombusz.

(4 pont)

B. 3738. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

$\displaystyle x-2=\sqrt{4-3\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}}.$

(4 pont)

B. 3739. Az a valós számra teljesül, hogy a⁵-a³+a=2. Bizonyítsuk be, hogy 3<a⁶<4.

(5 pont)

B. 3740. Tekintsük az

$\displaystyle a_0=1,\quad a_1=\frac{1}{3},\quad a_{n+1}=\frac{2a_n}{3}-a_{n-1}\quad(n\ge1)$

rekurzióval meghatározott sorozatot. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan n pozitív egész szám, amelyre a_n>0,9999.

(5 pont)

B. 3741. Hány olyan sík van, amely szabályos hatszögben metsz egy szabályos oktaédert?

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 347. Legyen ABC egy szabályostól különböző háromszög és \(\displaystyle 0AB oldalán vegyük fel az A₁ és A₂ pontokat, a BC oldalon a B₁ és B₂ pontokat, a CA oldalon pedig a C₁ és C₂ pontokat úgy, hogy

$\displaystyle \frac{AA_1}{AB}=\frac{A_2B}{AB}=\frac{BB_1}{BC}=\frac{B_2C}{BC}=\frac{CC_1}{CA}= \frac{C_2A}{CA}=t$

teljesüljön. Bizonyítsuk be, hogy az A₁B₁C₁ és A₂B₂C₂ körök hatványvonala nem függ a t szám megválasztásától.

Dőtsch András, Szeged

A. 348. Legyen $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$ egy divergens sor, amelynek tagjai pozitívak és monoton csökkennek. Igazoljuk, hogy a

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{1+na_n}$

sor divergens.

Vojtech Jarnik Nemzetközi Matematikaverseny, Ostrava, 2004

A. 349. Egy nxn-es táblázat elemei legfeljebb 1 abszolút értékű valós számok, összegük 0. Mutassuk meg, hogy a táblázatnak létezik olyan sora vagy oszlopa, amelyben a számok összegének abszolút értéke legfeljebb $\displaystyle \frac{n}{2}$.

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2004. június 15.