Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. május

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 765. Egy kihúzható kerek asztal átmérője 1 méter. Kihúzott állapotban az asztallap két félkör alakú része közé egy 1 m x0,5 m-es téglalap illeszkedik. Van-e ekkor az asztallapnak két, egymástól 150 cm-nél távolabb lévő pontja?

C. 766. A konyhában lévő falióra naponta 2 másodpercet késik, a szobában lévő antik óra naponta 15 másodpercet siet. Vasárnap délben a falióra 12 óra 1 percet, az antik óra 11 óra 59 percet mutat. Mikor lesz a hét folyamán az órák által mutatott és a valódi idő közötti különbségek négyzetösszege a legkisebb?

C. 767. Határozzuk meg az összes olyan nem negatív a, b, c számot, amelyre: \(\displaystyle \sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\).

C. 768. Két egységnyi sugarú kör az A és B pontokban metszi egymást. Egyik közös érintőjük az E és F pontokban érinti a köröket. Mekkora lehet annak a körnek a sugara, amelyik áthalad az E, F és A pontokon?

C. 769. Egy 20 cm sugarú henger az e egyenes mentén érinti a sík talajt. Az e egyenesre merőlegesen egy 50 cm hosszú pálcát támasztunk a hengernek úgy, hogy a pálca talajon lévő végpontja 40 cm-re van az e egyenestől. Milyen magasan van a pálca másik végpontja?

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3732. Az ABC háromszög beírt körének a középpontja O és az AO, illetve a BO egyenesek az A₁, illetve a B₁ pontokban metszik a BC, illetve az AC oldalakat. Tudjuk, hogy OA₁ = OB₁. Következik-e ebből, hogy a háromszög egyenlő szárú?

(3 pont)

B. 3733. Van-e olyan m egész szám, amelyre 100+m^.101 és 101-m^.100 nem relatív prímek?

(4 pont)

B. 3734. Van-e olyan derékszögű háromszög, melynek oldalai egész számok és amelyet egyik befogója mint tengely körül megforgatva a keletkező forgáskúp felszínének és térfogatának mérőszáma egyenlő?

(3 pont)

Javasolta: Lorántfy László, Dabas

B. 3735. Az x_n sorozat első két eleme x₁=1001, x₂=1003 és ha n \(\displaystyle \ge\)1, akkor \(\displaystyle x_{n+2}= \frac{x_{n+1}-2004}{x_n}\). Mennyi a sorozat első 2004 elemének az összege?

(4 pont)

B. 3736. Az egységnyi oldalú ABCD négyzet CD oldalán adott az N, CB oldalán pedig az M pont úgy, hogy az MCN háromszög kerülete 2. Mekkora az MAN\(\displaystyle \angle\)?

(4 pont)

B. 3737. Egy konvex négyszög bármely két szemközti oldalára teljesül, hogy az oldalak középpontjai közötti távolság fele a hosszuk összegének. Bizonyítandó, hogy a négyszög rombusz.

(4 pont)

B. 3738. Oldjuk meg az alábbi egyenletet:

\(\displaystyle x-2=\sqrt{4-3\sqrt{4-3\sqrt{10-3x}}}. \)

(4 pont)

B. 3739. Az a valós számra teljesül, hogy a⁵-a³+a=2. Bizonyítsuk be, hogy 3<a⁶<4.

(5 pont)

B. 3740. Tekintsük az

\(\displaystyle a_0=1,\quad a_1=\frac{1}{3},\quad a_{n+1}=\frac{2a_n}{3}-a_{n-1}\quad(n\ge1) \)

rekurzióval meghatározott sorozatot. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan n pozitív egész szám, amelyre a_n>0,9999.

(5 pont)

B. 3741. Hány olyan sík van, amely szabályos hatszögben metsz egy szabályos oktaédert?

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 347. Legyen ABC egy szabályostól különböző háromszög és \(\displaystyle 0AB oldalán vegyük fel az A₁ és A₂ pontokat, a BC oldalon a B₁ és B₂ pontokat, a CA oldalon pedig a C₁ és C₂ pontokat úgy, hogy

\(\displaystyle \frac{AA_1}{AB}=\frac{A_2B}{AB}=\frac{BB_1}{BC}=\frac{B_2C}{BC}=\frac{CC_1}{CA}= \frac{C_2A}{CA}=t \)

teljesüljön. Bizonyítsuk be, hogy az A₁B₁C₁ és A₂B₂C₂ körök hatványvonala nem függ a t szám megválasztásától.

Dőtsch András, Szeged

A. 348. Legyen \(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n\) egy divergens sor, amelynek tagjai pozitívak és monoton csökkennek. Igazoljuk, hogy a

\(\displaystyle \sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{1+na_n} \)

sor divergens.

Vojtech Jarnik Nemzetközi Matematikaverseny, Ostrava, 2004

A. 349. Egy nxn-es táblázat elemei legfeljebb 1 abszolút értékű valós számok, összegük 0. Mutassuk meg, hogy a táblázatnak létezik olyan sora vagy oszlopa, amelyben a számok összegének abszolút értéke legfeljebb \(\displaystyle \frac{n}{2}\).

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2004. június 15.