Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2004. október

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.


A K pontversenyben kitűzött gyakorlatok

A K-jelű feladatokat csak 9-edik osztályosok küldhetik be. Minden K-jelű feladat helyes megoldásáért 6 pont jár.

K. 7. Hányféleképpen lehet eljutni a sakktáblán a legrövidebb úton (a legkevesebb lépéssel) C5-ről H2-re a királlyal?

Javasolta: Gáspár Nóra (Budapest)

K. 8. A képen egy egyfővonalas vasútállomás vázlatos felülnézeti rajza látható. Hány különböző útvonalon haladhat át a vasútállomáson egy balról érkező vonat?

K. 9. Egy 12 cm élhosszúságú kocka alakú edényt az 58 részéig megtöltöttük folyadékkal, majd az egyik éle mentén megbillentettük egy kicsit. Az ábra az edény keresztmetszetét mutatja a benne lévő folyadék vízszintjével. Tudjuk, hogy az LC szakasz hossza pontosan a KB szakasz hosszának a kétszerese. Adjuk meg az LC szakasz hosszát.

K. 10. Adjuk meg az összes olyan négyzetszámot, melynek minden számjegye páratlan.

Javasolta: Halász Tamás (Budapest)

K. 11. Az asztalra letettünk egy záródó láncba 6 különböző dominót. A dominókon összesen D pont van. Mennyi D lehetséges legkisebb értéke? (A dominók mindkét oldalán 0-6-ig mehet a pontok száma és az érintkező dominóoldalakon azonos számú pontnak kell lenni.)

K. 12. Hány pozitív egész szám írható n helyére, ha 2004n osztója 2004!-nak? [2004! jelöli 1-2004-ig az egész számok szorzatát.]

Ötlet: Englert Ákos (Zalaegerszeg)


A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok

Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 775. Pistike eredeti módon számlál az ujjain. 1-gyel kezdi a hüvelykujján, ezután a 2-t és a 3-at a mutatóujján, a 4-et, 5-öt és a 6-ot a középső ujján, a 7-et a gyűrűsujján, a 8-at és 9-et a kisujján. Ezután visszafelé folytatja, a 10-et, 11-et, 12-t megint a gyűrűsujján, 13-at a középsőn, 14-et és 15-öt a mutatón, 16-ot, 17-et, 18-at a hüvelykujján, 19-et ismét visszafelé a mutatóujján és így tovább. Melyik ujján számolja a 2004-et?

C. 776. Mutassunk példát olyan derékszögű háromszögre, amely felbontható öt egybevágó háromszögre.

C. 777. Az özönvíz előtti jegykezelő gépek a menetjegy kilenc számozott mezője közül néhányat - akár az összeset - kilyukasztanak. A gépek beállítójától az ellenőrök azt kérik, hogy a gép ne ugyanazokat a mezőket lyukassza, ha valaki nem az előírásnak megfelelően, hanem lapjával fordítva helyezi be a jegyét. Hány ilyen beállítása lehetséges a gépnek?

C. 778. Egy számtani sorozatban jelölje Sm a sorozat első m elemének az összegét. Bizonyítsuk be, hogy minden n>k1 esetén

Sn+kn+k=SnSknk.

C. 779. Egy 12x12x35 cm-es, 5 kg tömegű gépsonkát ferdén vágtunk el úgy, hogy a paralelogramma alakú metszet oldalhosszúsága 15 és 20 cm. Mekkora lehet a keletkezett két darab tömege?


A B pontversenyben kitűzött feladatok

A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3752. Mutassuk meg, hogy ha egy konvex nyolcszög szemközti oldalai párhuzamosak és egyenlők, akkor a sokszög feldarabolható paralelogrammákra.

(3 pont)

B. 3753. Jelölje Sm az (am) sorozat első m elemének az összegét. Bizonyítsuk be, hogy ha minden nk pozitív egészre teljesül, hogy

Sn+kn+k=SnSknk,

akkor (am) számtani sorozat.

(3 pont)

B. 3754. Bizonyítsuk be, hogy a szabályos háromszög nem bontható föl öt egybevágó háromszögre.

(5 pont)

B. 3755. Egy kör úgy metszi egy konvex négyszög oldalait egy-egy szakaszban, hogy a négyszög belsejébe eső szemközti körívek hosszának összege egyenlő. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög húrnégyszög.

(4 pont)

B. 3756. A nyolcjegyű számokat osszuk két halmazba. Az egyik halmazba kerüljenek azok, amelyek felbonthatók két négyjegyű szám szorzatára, a másikba azok, amelyek nem. Melyik halmazba kerül több szám?

(5 pont)

B. 3757. A k1 és a k2 körök az A és a B pontokban metszik egymást, egyik közös érintőjük pedig az E1, illetve az E2 pontokban érinti a köröket. Bizonyítsuk be, hogy az A, E1, E2, illetve a B, E1, E2 pontokon átmenő körök sugara egyenlő.

(4 pont)

B. 3758. Legyen az n pozitív páros szám. Írjuk az 1,2,...,n2 számokat egy nxn-es táblázat mezőibe úgy, hogy a táblázat k-adik sorában az elemek balról jobbra olvasva rendre (k-1)n + 1, (k-1)n + 2, ..., (k-1)n + n legyenek (k = 1,2,...,n).

Színezzük ki az így kitöltött táblázat mezőit bordó és sárga színnel úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban a mezők fele bordó, a másik fele pedig sárga legyen. (A sakktábla-szerű színezés például egy lehetőség.) Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen színezésre a bordó és a sárga mezőkön lévő számok összege egyenlő.

(4 pont)

B. 3759. Bizonyítsuk be, hogy minden k pozitív egész számra (2k)! osztható k!.(k+1)!-sal.

(4 pont)

B. 3760. Az ábrán látható téglatestben az EH él felezőpontja S, a HG él felezőpontja R és a GF él felezőpontja Q. Bizonyítsuk be, hogy az ASR és a DRQ háromszögek területe egyenlő.

(4 pont)

B. 3761. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

1x+12y=(x2+3y2)(3x2+y2),

1x12y=2(y4x4).

(5 pont)


Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok

Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 353. Bizonyítsuk be, hogy a 22n+1 és 62n+1 sorozatok együttvéve végtelen sok összetett számot tartalmaznak.

A. 354. Bizonyítsuk be, hogy

2+11+12+23+34+45+=e.

A. 355. Az MO űrvárosban 100 űrállomás van. Bármely kettőt alagút köt össze. Az alagutak közül 100-ban kétirányú, a többiben egyirányú a közlekedés. 4 űrállomást szorosan kapcsolódónak nevezünk, ha bármelyikükről eljuthatunk a többi háromba a 4 állomás közti alagutakon keresztül. Tervezzük meg az MO várost úgy, hogy abban a lehető legtöbb szorosan kapcsolódó négyes legyen. Adjuk meg a maximumot, és bizonyítsuk is be.

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

    KöMaL Szerkesztőség
    Budapest 112, Pf. 32.  1518
illetve
    megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő:

    A K-jelű feladatoknál 2004. november 10.,

    Az A-, B- és C-jelű feladatoknál 2004. november 15.,