Kúpszelet-történelem

Menaikhmosz (i.e. 350 körül)

A híres matematikus, Eudoxosz (i.e. 400?-347?) volt a mestere. Testvére, Deinosztratosz a kör négyszögesítésével örökítette meg nevét. Menaikhmosz egy másik híres problémával foglalkozott: a kockakettőzéssel. Másodállásban Nagy Sándor egyik nevelője volt. Proklosz szerint Menaikhmosz jelentősen továbbfejlesztette a geometriát, munkái azonban nem maradtak fenn, így ,,csak'' a kúpszeletek felfedezését tudhatjuk övének.

A nagy rendszerező matematikus természetesen foglalkozott kúpszeletekkel, könyvet is írt a témában, ami azonban elveszett.

Több művében is foglalkozik kúpszeletekkel, amiket ugyanúgy származtat, mint Menaikhmosz. Az Erathosztenészhez írt levele, a Módszer fontos matematikai eredményeit tartalmazza. Számunkra legfontosabb fejezete ennek A parabola kvadratúrájáról szóló, amiben egy parabolaszelet területét számolja ki Arkhimédész. A tanulmány több szempontból is figyelemre méltó. Egyrészt Eudoxosz ,,kimerítéses módszerét'' alkalmazza a lehető legfinomabb és legprecízebb módon, másrészről a végeredmény megsejtéséhez (mondhatni személyre szabottan: heurisztikus megoldásához) egy fizikai szabályt alkalmaz, amit matematikusan precízen be is bizonyít. Arkhimédész szerint egy parabolaszelet területe megegyezik beleírt háromszög területének 4/3-szorosával.

A konoidokról és szferoidokról (A forgásparaboloidokról és forgásellipszoidokról) című művében a Módszerben megismert módszerrel ezen testek térfogatát és felszínét, illetve a síkmetszetek területeit számolja ki.

Arab fordításból ismerjük A szabályos hétszög szerkesztése könyvecskéjét. Némi számolás után kapta DE=ET=z, EC=TH=y, CG=x szakaszokat, hogy ATB területe megegyezik CFG területével. A hasonló háromszögeket és a terület-egyenlőséget figyelembe véve (y+z)z=x²-t az összefüggés. Az x,y,z oldalú háromszöget megszerkesztve a KDG köré írt körének (k) DK húrja adja a k-ba írható szabályos hétszög egyik oldalát.

Arkhimédész nem fűz több kommentárt a dologhoz, azonban feltételezhető, hogy például y+z=a jelöléssel, azaz ABCD egy a oldalú négyzet, z-t behelyettesítve kapjuk, hogy

és

Alexandriában, majd Pergében dolgozva alkotta meg nyolckötetes kúpszeletekről szóló könyvét, a Kónikát. Tárgyalásának új módja, hogy a syümptómákat minden esetben speciálisan, konjugált átmérőpárra írta fel (az érintő az x, az átmérő az y tengely), mai szóhasználattal ferdeszögű koordináta-rendszerben, másrészről mind a parabolát, mind az ellipszist, mind a hiperbolát azonos eljárással vizsgálta.

Az első négy kötet görögül, a következő három arabul maradt ránk. A VIII. kötetet 1710-ben Papposz hivatkozásaira támaszkodva Edmund Halley angol matematika-történész rekonstruálta. Az I., II., III. és IV. könyv a kúpszeletek mint egyetlen ferde körkúp különböző síkmetszeteivel, a kúpszeletek szümptómáival, konjugált átmérővel, érintőkkel, aszimptotával, pólussal és polárissal illetve fokális tulajdonságokkal foglalkozik. Az V. kúpszeletek érintőiről és evolútáiról szól. A kúpszeletek egybevágóságával és hasonlóságával a VI. kötet foglalkozik, míg a VII.-t a konjugált átmérőkre szánta. A legutolsó rész lényegében szerkesztési feladatokat tartalmaz.

Mivel Apolloniosz egyetlen ferde körkúpot használt, ezért a korábban Menaikhmosztól származó bevett elnevezések nem voltak helyénvalóak. Ezért kereset valami közös , de mégis megkülönböztető tulajdonságot. Korábban említettem, hogy Apolloniosz mindhárom kúpszeletet azonos módon vizsgált, így juthatott el a következő feltünően hasonló szümptómákhoz (mai jelölésekkel):

ahol \(\displaystyle p={{b^2}\over a}\). Apolloniosz az ellipszis egyenletét így fogalmazta meg: Illesszünk a 2p távolsághoz y² területű téglalapot úgy, hogy hiányozzék a távolság mellől egy \(\displaystyle {p\over a}x^2\) területű téglalap! Könnyen belátható, hogy (az egyszerűség kedvéért) kanonikus helyzetben levő ellipszis |c| abszcisszájú pontjainak ordinátái

alapján

azaz

Lyoni születésű építész- és hadmérnök volt. 1626 és 1650 között Párizsban matematikával és fizikával foglalkozott, s 1935-ben a párizsi Akadémia tagjává választották. 1939-ben jelent meg Bruillon projet d`une atteinte aux événemens des recontres d`un cone avec un plan (Javasolt kísérlettervezet arra vonatkozóan, hogy miként kell eljárni, amikor egy kúp egy síkkal találkozik) című könyve. Az egyenes végtelen távoli pontjának és a sík végtelen távoli egyenesének bevezetésével megállapította, hogy azonos aszimptotájú hiperbolák végtelen távoli pontjaikban találkoznak. Először körre igazolta, majd általánosan is kimondta tételét: Ha egy kúpszeletbe húrnégyszöget rajzolunk, annak oldalegyeneseit egy ötödikkel elmetszük, ami a kúpszeletből is kimetsz két pontot, akkor az így kapott hat pont involúciót képez.

Pontosabban az ábra jelölései szerint PS, QR, UV pontpárok involúciót adnak.

A híres ,,matematikus'' jogász volt, szabadidejében fogalkozott matematikával. Ismereteit az ókori görög művek olvasásával alapozta meg, Apolloniosz: Plane loci elveszett iratainak rekonstruálásával is foglalkozott Papposz utalásai alapján. Írásait nem publikálta, de Ad locus planos et solidos isagoges (Bevezetés a síkbeli és térbeli mértani helyek elméletébe) (1636) ismert volt levelezőtársai körében. Az Oresme-féle paralel koordinátarendszer segítségével kimutatta, hogy az elsőfokú kétismeretlenes egyenlet grafikonja egyenes, a másodfokúé pedig kúpszelet. Apolloniosz gondolatmenetét követve levezette a kör, az ellipszis, a hiperbola és a parabola egyenletét. (A szümptómát már egyenletnek nevezte.) Egy adott másodfokú kétismeretlenes egyenletről ügyes transzformációkkal megkereste, milyen típusú kúpszelet egyenlete. Például a

egyenletet az y'=x+y és helyettesítéssel

azaz

A descartes-i analitikus geometria módszerével új módon tárgyalt kúpszeletek közös egyenletét felírta

Sévres-ben született tüzértiszt, majd tanár. 21 éves korában mondta ki, tételét, ami Pascal tételének "duálisa". E szerint egy kúpszelet köré írható érintőhatszög átellenes végpontjait összekötő átlók egy pontban metszik egymást.

Germinal Pierre Dandelin (1794-1847)

Az egyik legnagyobb és leghíresebb magyar matematikus sem hagyható ki a sorból. Bár Bolyai hírnevét a hiperbolikus geometria leírásával szerezte (Appendix, 1831), itt a hiperbola egy alkalmazása miatt szerepel.

Bolyai az ókori szögharmadolás kérdésére adott egy választ. Köztudottan euklideszi értelemben nem szerkeszthető meg egy tetszőleges szögből annak harmada. Egy hiperbola élű vonalzóval azonban már igen. A híres matematikus ehhez egy derékszögű hiperbolát használt.

Helyezzük a hiperbolát egy koordináta-rendszerbe úgy, hogy az aszimptoták essenek egybe a tengelyekkel. A harmadolni kívánt szög csúcsa az origó, egyik szögszára az x-tengely pozitív ága legyen. Ekkor a másik szögszár a hiperbolát a P pontban metszi. A P középponttal és 2OP=2r sugárral kört szerkesztünk, ami (a síknegyedbe eső) hiperbolaágat D-ben és E-ben metszi. Legyen T a DE körvonal azon pontja, amire PT párhuzamos az abszcisszával. Ekkor DPT= a keresett harmadszög.

Ha P(a;b), akkor D(x₁;y₁) koordinátákra igaz, hogy x₁y₁-ab=0 a hiperbola egyenlete miatt. Ugyanakkor felírható x₁=a+2rcos\(\displaystyle beta\)-ként és y₁=b-2rcos\(\displaystyle beta\)-ként. Ezzel

x₁y₁-ab=(a+2rcos)(b-2rcos\(\displaystyle beta\))-ab=0

azaz

2r(bcos\(\displaystyle beta\)-asin\(\displaystyle beta\))-4r²sincos=0.

Egyszerűsítve a bcos\(\displaystyle beta\)-asin\(\displaystyle beta\)=rsin 2-t kapjuk. Felhasználva a b=rsin és az a=rcos összefüggéseket, az r-rel való egyszerűsítés után egyenletünk

sincos\(\displaystyle beta\)-cossin\(\displaystyle beta\)=sin 2\(\displaystyle beta\)

alakot ölt. Ez nem más, mint

sin(-\(\displaystyle beta\))=sin 2\(\displaystyle beta\).

- és 2 hegyesszögek, tehát -=2, azaz 3=. Tompa és homorú szög harmadolása visszavezethető a kiegászítőszögek segítségével a fent leírt hegyesszög-harmadolásra.