Fórum: GEOMETRIA

N+1-edik feladat. Legyen ABC tetszőleges háromszög, és k a beírt köre, ami a megfelelő oldalakat A₁, B₁, C₁ pontokban érinti. Az AB-vel párhuzamos k-t érintő egyenes AC és BC közé eső szakaszának felezőpontja F, és az F-ből k-hoz AB-vel párhuzamosan húzott érintő AC-t X-ben metszi. Mutassuk meg, hogy XC₁, A₁B₁ és AF egy ponton haladnak át.

március8 a szögharmadolás topicban:

,,Például egy ilyen: Adott a síkon két egymásra merőleges egyenes, és adott egy pont, amelyik az egyik adott egyenestől "p" távol van, a másik adott egyenestől "q" távol van. Szerkesztendő olyan egyenes, amely átmegy az adott ponton és amelynek a két adott egyenes közötti részének hossza "d". "

Ez érdekelne, de nem jöttem rá. Viszont például triviálisan megszerkeszthető kagylógörbe felvételével. De én polinomok gyökének megszerkesztése helyett (a polinomok csak koordinátázva kaphatók meg) inkább a görbézős szerkesztések felé mennék tovább.

Van két hasonló példám, amik kúpszeletelővel megoldhatók (egy kúpszeletelő kúpszeletet helyez néhány ponton és érintőn át, beleértve a végtelen távoli pontokat és egyenest is, és két ily módon kapott kúpszelet metszései szerkesztett pontnak számítanak)

első, ez egyszerűbb: adott e, f, g és h egyenes és egy P pont, szerkessz olyan p egyenest P-n át, hogy (ahol )

második: adott e és f egyenes, P pont. Szerkessz olyan p egyenest P-n át, hogy minimális legyen. ()

(nem biztos, hogy kúpszeletelők segítsége nélkül nem lehet őket megoldani)

Adott P pont és c kör, c körön O és O' pontok. O és O' középponttú, P-n átmenő körök metszése legyen M. Hol van M, ha O' -> O. Mi M (határértékének) mértani helye, ha O befutja c-t? Igazold, hogy minden P-n átmenő, k-n levő középponttú kör érinti M mértani helyét!

------

Adott e, f és g egyenes, g-n P és P' pontok. P pont merőleges vetülete e-re és f-re Pe és Pf, Pe-n és Pf-n átmenő egyenes legyen p. p' egyenes hasonlóan. Adott P esetén hol metszi p-t p', ha P' -> P?

-------

Adott O origó, z origó körüli forgatva nyújtás, e egyenes, rajta E és E'. zE:=z(E), és f legyen az E és zE pontokon átmenő egyenes, f' hasonlóan. Szerkeszd (találd) meg f és f' F metszésének helyét, ha E adott, és E' -> E. Mi F mértani helye, ha E végigfut e-n? Igazold, hogy minden E-re f érinti F mértani helyét!

(geogebrában a rögzített, kicsi sugarú körrel lehet az alakzatból kimetszeni olyan pontot, amely mindig rajta van az alakzaton, és mindig nagyon közel marad a kör középpontja futóponthoz)

valamint YC és QX is párhuzamos

Helyesen: valamint YR és QX is párhuzamos

Vonka Vilmos szép okfejtéséből kiindulva megkérdezhetjük, hogy mikor igaz, hogy a három átlót azonos arányban osztó pontok mikor vannak egy egyenesen.

Túl gyors vagy :( kéne minimum egy napot várni a megoldással, hogy másoknak legalább elolvasni legyen esélyük.

Ha jól látom még nem volt 185. feladat. Ez talán megteszi: Adott A, B, C pont a síkon. A-n átmegy egy rögzített r egyenes, és egy futó f egyenes, B-n egy rögzített b1 egyenes. Legyen F_i:=b_if, ci egyenes legyen Fi és C pontokon átmenő egyenes, R_i:=c_ir és bi+1 legyen a B-n és a Ri pontokon átmenő egyenes. Mi a mértani helye Fi pontoknak?

Legyen az AC átló felezőpontja X, a BD átló felezőpontja Y, EF felezőpontja Z. Legyen továbbá P CD felezőpontja, Q CF felezőpontja és R DF felezőpontja. YP BCD középvonala, ZQ ECF középvonala, ezért YZ és ZQ egyaránt párhuzamos CE-vel. Tehát YP és ZQ párhuzamos. Hasonlóan: XP és ZR párhuzamos, valamint YC és QX is párhuzamos. Így az ábrán szereplő YMP és QNZ háromszögek megfelelő oldalegyenesei párhuzamosak, vagyis a két háromszög középpontosan hasonló. Tehát YQ, MN és PZ egy O pontra illeszkednek. Ekkor a Papposz-tételt a kollineáris PRQ és és MON ponthármasokra alkalmazva adódik az állítás.

Igazoljuk, hogy egy négyszög három átlójának felezőpontja (ahol a harmadik átló az átlóspontokat összekötő szakasz) kollineáris.

Az első állítás nem igaz, pl. Geogebrával kísérletezve ez látható.

A második állítás igaz. Ismert ugyanis, hogy egy kúpszeletbe írt teljes négyszög átlóspontjai páronként konjugáltak egymáshoz, tehát bármely két átlóspont egyenesének a pólusa a harmadik átlóspont. Akármelyik kúpszeletet is tekintsük a paralelogramma csúcsain keresztül, a paralelogramma csúcsai által meghatározott teljes négyszög két átlóspontja ideális pont (a paralelogramma oldalegyeneseinek az irányai), a harmadik átlóspont pedig az átlók metszéspontja (azaz a paralelogramma szimmetriaközéppontja). Így az ideális egyenes pólusa - ami a kúpszelet centruma - éppen egybeesik az átlók metszéspontjával.

Igaz-e, hogy egy deltoidon átmenő minden kúpszeletnek a deltoidéval azonos a szimmetriatengelye?

Igaz-e, hogy egy paralelogrammán átmenő minden kúpszeletnek a paralelogrammáéval azonos a szimmetriaközéppontja?

Bocs, erre gondoltam.

Igen, erre gondoltam. Az ilyen típusú feladatok közül talán a legalapabb ez, de már ki lett tűzve ebben a témában (jenei.attila), régesrégen.

BCA -ből BCA=15^o . B tükörképe AC-re legyen B' , ez a szögfelezés miatt DA-n van. ACB'=15^o , B'CD=5^o . ABB' egyenlőszárú szárszöge ABB'=35^o ,B'BC=75^o. A négyszög negyedik szöge CDA=CDB'=105^o . B'BCD húrnégyszög, B'BD=B'CD=5^o . ABD=ABB'+B'BD=40^o

ABCD négyszögben DAB=ABC=110°, BCD=35° és AC felezi DAB-et. Mekkora az ABD?

Ez amúgy ugyanaz a feladat, mintha azt kérdezem, hogy az e egyenesen hova üljek ahhoz, hogy az AB szakaszt minél nagyobb szögben lássam?

Ha P futhat g-n, és R=e'f ahol e' e P körüli forgatott/forgatva nyújtott képe, akkor hol lesz R és P felezőpontjának mértani helye?

A mértani helyed nem lehet olyan csúnya, például megszerkeszthető az A-n átmenő egyenesekkel való metszése, vagy az AB-n átmenő körökkel való metszése.

Továbbá a mértani helyed félkörré fajul, ha az AB-vel párhuzamos egyenes messze van az AB egyenestől (mondjuk 1000-ben vagy 100000-ben metszi az y-t. Vagy mondjuk ő az ideális egyenes). Ez egyszerűen kijön, AB és AC egyenesek közelítenek a párhuzamoshoz, ACB szög meg a külső-belső szögfelezőjük szöge, azaz megközelítőleg derékszög.

A mértani helyed a GeoGebra szerint parabola, ezt majd igazolom. (Amúgy jól jön, nekem eléggé tetszik a parabola/hiperbola függvénytani megfogalmazásának geometriai alkalmazása.)

Mondanék egy sokkal nehezebb mértani helyt. Rögzített AB szakasz, AB-vel párhuzamos egyenesen mozog C, de most a beírt kör középpontjára keresünk mértani helyet. Igen csúnyácska lesz (ábra). A kérdés, hogy a te inverziódhoz hasonlóan mily módon lehet "normális" mértani helyre átírni a kérdést (eddig nyitott probléma :-) ).

Ugyanígy mozgó C pont esetén mi lesz a szimmediánpont mértani helye, i. e. konjugáljunk izogonálisan egy egyenest!

A megoldásom annyi, hogy vegyük észre, hogy , hisz két-két azonos szögük van ha jól elnézem (itt M=ACBD). Innen AM/BM=DM/CM. A csúcsszögek miatt is ekkor és ebből adódik a szögek egyenlősége.

Megfigyelhető, hogy vannak tipikusan olyan feladatok, melyek azonnal beugranak valamilyen embereknek, de mások pedig órákig töprengenek rajta. Emellett rendkívül érdekes, hogy egy lehetetlennek vélt, de sokszor átgondolt problémát egy másik embernek elmagyarázva, nagy eséllyel a magyarázás közben eszünkbe jut a megoldás. Személyes tapasztalat. :-)

Az ötlet a következő feladatból ugrott be. ABCD konvex négyszögben CBD=CAB és ACD=ADB. Igazoljuk, hogy BC, AD és AC szakaszokból szerkeszthető derékszögű háromszög.

wow, ez gyors volt, Nekem napokba telt, míg találtam egy (nem egyszerű) megoldást. A tiedet majd írd le ha ráérsz, addig is egy mértani hely:

Ha A és B rögzített, C egy AB-vel párhuzamos egyenesen futhat, mi ABC háromszög magasságpontjának mértani helye?

Túl könnyű feladatok? Szeretek egy feladatot, ha nem trivi, de könnyen kijön érdekes eszközökkel.

A te feladatod nekem könnyű volt, talán mert láttam már hasonlót.

w feladatai könnyűek, itt egy talán nehezebb (nekem nehéz volt)

Néha előfordul, hogy a feladatban szögek adottak, és a bizonyítandó állítás is szépen megfogalmazható szögekkel. Ilyenkor az ember úgy szögszámolna egy kicsit, sűrűn használva, hogy a párhuzamos egyenesek között (tükörképek, elforgatottak, hasonló háromszögek etc) ugyanakkora a szög, és hogy a háromszög szögösszege 180, ebből minden ki kell hogy jöjjön, akkor is, ha nem trükközök semmit.

Feladat: AB szakasz ugyanakkora szögben látszik C és D pontokból, bizonyítsd be, hogy BC szakasz ugyanakkora szögben látszik A és D pontokból, anélkül hogy észrevennéd, hogy húrnégyszög és kerületi szögek, vagy felhasználnád annak a bizonyítását (sőt, ne is használj köröket).

Könnyen ígazolható hogy az AMB szög állandó (=OAB=OBA), tehát egy kör a mértani hely.

Egy háromszög beírt körének az oldalakkal való érintési pontjain át párhuzamost húztunk a szemközti szög szögfelezőjével. Mutassuk meg, hogy az így kapott három egyenes egy ponton megy át!

A és B egy O körüli k kör rögzített pontjai. E kör minden X pontjára legyen XO és k metszéspontja Y. Legyen M=AXBY. Határozzuk meg M mértani helyét.