Fórum: Felmerülő kérdések és problémák topikja

A másik fontos kérdés, hogy akkor hány évesek lennének a tínédzserek? Később lenne a serdüdőkor vagy korábban? Rövidebb vagy hosszabb lenne?

Sztálin hányadik születésnapján avatnák fel az első trolibuszt Budapesten? A kerek évforduló a fontos, vagy az, hogy még a halála előtt megtörténjen a dolog? És mikor készülne a milleniumi földalatti vasút az Népköztársaság útján?

Ha a bal kezeden hat ujj lenne, a jobb kezeden csak öt, és a tükör előtt állva integetnél a jobb kezeddel, akkor a tükörképed melyik kezével integetne vissza?

Két dolog jutott eszembe: a kis számokkal való oszthatósági szabályok bonyolultabbak lennének (érdmemes megnézni mondjuk 10-ig), és nem lenne egy kézenfekvő bináris kilónk (1024 az 1000 helyett). Az is érdekes feladat lenne, hogy a 11-hatványok és a 2-hatványok mikor kerülnek ily módon közel egymáshoz.

Olyan dolgot nem látok, ami esetleg egyszerűbb lehetett volna, ha a 11-es számrendszer lett volna az alap.

Az a bolondos gondolat jutott az eszembe, hogy milyen következményekkel járt volna, ha az emberiség illetve a matematika történetében a 11-es számrendszer játszotta volna azt a szerepet, mint amit a 10-es.

Mi lenne akkor ma könnyebb, illetve mi lenne nehezebb?

Esetleg mi az amire hamarabb-vagy később jutott volna el esetleg a tudomány?

Egy kicsit gondolkodtam ma rajta (HÉV, MÁV:)), ha nem nézek el semmit, akkor A) és B) ekvivalens definíciók.

Ami a fogalmak értelmességét jelenti, hát, szóval nem az igazi egy olyan oszthatóság-fogalom, ami szerint a|b, a|c-ből NEM következik a|(b+c). Ezt úgy elvárná az ember. Az is különös jelenség, amikor a nem osztja b-t, aztán megszorozzuk b-t egy a-hoz relatív prím számmal, és így már a|bc lesz. A relatív prímmel való szorzáson most azt értem, hogy olyannal szorozzuk meg, ami semmiféle a-val való oszthatósági jelleget nem hordoz magában, csupán a megfelelő testbe pakolja át b-t, a Sirpi-féle terminusban ,,elintézi a minimálpolinom fokát'' (az oszthatósági tulajdonságot lényegében már maga b is hordozta).

Ilyen értelemben a faktorizáció is egy kicsit értelmetlen dolog: oké, hogy van oszthatóság fogalmunk, de a faktorizáció attól még faktorizáció marad, vagyis elemeket mások szorzatára bontunk. És akkor itt most letilthatunk felbontásokat, ha az megemelné a használt test fokát, de akkor ha például vesszük az x=(1+i)²(1-i) számot, akkor most ott mi van? Ha úgy kezdjük el bontani, hogy 2(1+i), akkor nem lehet folytatni. Ha úgy kezdjük el bontani, hogy ((1+i)(1+i))(1-i), akkor eljutunk (1+i)(1+i)(1-i)-ig. Összességében nem látom sok matematikai értelmét...

Na ez vicces:D. Tegnap a buszmegállóban nekem is eszembe jutott két ehhez nagyon hasonló lehetséges definíció (előtte már olvastam a kérdésedet, de még nem volt időm válaszolni).

Az egyik az volt, hogy a|b, ha b=ac, ahol B) a,c benne vannak Q(b) algebrai egészeinek halmazában; C) a,c benne vannak Q(b) Q feletti normális lezártja algebrai egészeinek halmazában. És akkor legyen az A) hogy deg(a),deg(c)deg(b).

Ez három kérdés, a viszonyuk is kérdés.

Persze azt sem árt meggondolni, hogy ez matematikai értelemben érdekes-e egyáltalán. Fejtörőnek mindenképp jó. Fogok rajta gondolkodni.

Köszönöm a válaszokat. Az, hogy a magától értetődő oszthatóság fogalom mihez vezet, azt én is láttam, ezért is írtam a példákat. Ezek szerint azt mondjátok, hogy az oszthatóságot nem is lehet máshogyan definiálni.

Csak mert én olyanra gondoltam, hogy a|b, ha van olyan c, hogy ac=b, és sem a, sem c rendje nem haladja meg b rendjét (egy elem rendjén a minimálpolinomjának fokszámát értjük). így pl. az egész számok pontosan akkor lennének felbonthatók, ha mint egészek, összetettek (rendjük 1, tehát csak 1 rendű elemekkel lennének oszthatóak). Vagy ez a módosított definíció ezek szerint nem értelmes?

Annyi kiegészítés, hogy persze vannak számelméleti vizsgálatok végtelen bővítésekre, de nem a faktorizáció létezése/egyértelműsége szempontjából. Azért, amit leírtam.

Ami az értelmes oszthatóságot illeti, azt gondolom, az egyetlen értelmes definíció, hogy a osztható b-vel, ha alkalmas c-re a=bc.

Ami az algebrai számtestek számelméletét illeti, nem véletlen, hogy véges fokú bővítésekre szokás csak vizsgálni. Egy ilyen végtelen fokú bővítésben, mint az algebrai lezárt, azért nem különösebben érdekes a felbontás egyértelműsége, mert már a felbontás létezése is sérül. Aki már tanult egy kis algebrát, az tudja, hogy az egyértelmű faktorizációval ekvivalens azon két feltétel együttese, hogy a gyűrűben a főideálokra teljesül a maximumfeltétel ÉS minden felbonthatatlan prím. Az első rész felelős a felbonthatóságért, a második az egyértelműségért. Ha most megnézitek az algebrai egészek gyűrűjét, akkor láthatjátok, hogy már a főideáloknak is van végtelen növő lánca (lényegében már Sirpi is mutatott rá egy példát, csak talán nem vette észre), így már felbontás sem létezhet. Sőt, azt sem nehéz megmutatni, hogy minden elem korlátlanul osztható (a szorzáscsoportban), vagyis egyáltalán nincsenek véges maximális főideálláncok.

Ami Sirpi második anomáliáját illeti, az nem probléma, nagyon gyakran előfordul, hogy egy számtestben végtelen sok egység (olyan szám, ami osztja az 1-et) van, és mégis van egyértelmű faktorizáció. Példa erre a . A temérdek egységet Sirpi mutatta (lényegében ez az összes, ez egy kicsit nehezebb; konkrétan úgy néz ki az egységcsoport, hogy a által generált végtelen ciklikus csoport és a 1-ből álló kételemű csoport direkt szorzata).

Egy teljesen más témában szeretnék kérdezni, mint amiről szó van. Tud valaki valamit a mátrix, determináns keletkezéséről? Ki találta ki, miért, mikor...?

Nullosztómentes kommutatív gyűrű, tehát van értelmes oszthatóság, bár érzésem szerint viszonylag sok lesz az egység. Egyértelmű felbontás viszont a legtöbb számtest algebrai egészei között nincs, így az algebrai egészek között sem hiszem, hogy lenne.

Kicsit agyaltam nemrég, és azon gondolkoztam el, hogy lehet-e az oszthatóságot "értelmesen" definiálni az algebrai egészek körében. Nem tudom, hogy erre már van-e közismert definíció, ami például biztosítana valami egyértelmű faktorizációt az algebrai egészek körében, de ha van, akkor az érdekelne. Ha pedig nincs, akkor próbáljuk meg kitalálni, hogyan is kellene definiálni. Pl. hogy elkerüljünk olyan anonáliákat, hogy 2=2^1/n.2^1/n....^.2^1/n vagy , mindkét felbontás bármilyen n-re.

Igaz! Ennek lehetőségét még meg kell vizsgálni! :-) Boldog Karácsonyt Mindnyájunknak!

,,olyan ember nem él a Föld nevű bolygón, akinek mindig igaza van''

No és a tévedhetetlen római pápa?

Kedves Róbert Gida!

Nem vitattam azt, hogy Ön jobban ért a lánctörtekhez, mint én. Sőt, még a matematika egyéb területein is otthonosabban mozoghat nálamnál. Mindezeket elismerve, csak azt jegyzem meg, hogy nincs tudomásom olyan tudományos bizonyítási eljárásról (igényes vitáról), amelyben az adott területen meglévő nagyobb jártasságra – végső soron a több tudásra – történő hivatkozást bizonyító erejű érvként fogadnák el. Véleményem szerint akkor járt volna el helyesen, ha gondolatmenetemet logikusan felépített érvek sorozatával cáfolja. Sajnos nem ezt tette. Ön biztosan okos, értelmes, tehetséges fiatal, de olyan ember nem él a Föld nevű bolygón, akinek mindig igaza van. Kívánok Önnek és szeretteinek békés, boldog karácsonyi ünnepeket, valamint jó egészségben töltött új esztendőt. Tisztelettel: Varga Levente

Bárcsak én is elvégeztem volna azt a kurzust (és a Fazekasba jártam volna), akkor úgy vágnék minden témát mint te.

Valószínűleg többet tudok lánctörtekből, mint te. Többek között elvégeztem egy spec. kurzust ami csak lánctörtekről szólt.

Véleményem szerint a hiba oka a következő. A baloldalon az X változó helyébe konkrét szám lett helyettesítve, míg a jobboldalon maradt a végtelen formális lánctört, amelyben ott „rejlik” az X változó, még ha nem is írjuk ki. A végtelen műveletsort uis. nem tudjuk elvégezni, csak ha valamilyen módon véges számú tagok közötti műveletekre vezetjük vissza.(lásd végtelen sor összege, amit a részletösszegek sorozatának határértékeként értelmezünk, amennyiben ez a határérték létezik) Az, hogy Füge ilyen jellegű hibát vétett, a második „még inkább ellentmondás szagú” egyenlőségéből látható. A baloldalra beírjuk a két különböző gyököt, majd a jobboldal egyező formalitásából (hiszen oda nem tudjuk behelyettesíteni a konkrét számot) és az egyenlőség ismert tulajdonságaiból levonjuk azt a következtetést, hogy a két különböző megoldás egymással egyenlő. Egyébként az egész „bűvészmutatványt” már ott is meg lehet csinálni, ahol még nincs végtelen lánctört. X=1+1/X. Ez az összefüggés magában hordozza a két különböző gyököt. Most írjuk a baloldalra (X helyébe) az egyik megoldást, de a jobboldalon hagyjuk meg az X-et. Ezután írjuk le még egyszer a fenti egyenletet, de most a baloldalra a másik gyököt tegyük X helyébe. Mivel a két egyenlőség jobboldalai (1+1/X) megegyeznek, ezért a két különböző szám egyenlő egymással. Ennek aztán tényleg ellentmondás szaga van. Persze itt nyilvánvalóan ordít az elkövetett hiba. Megjegyzem, hogy Füge a két (egyébként matematikailag helyes) formalizmus egyenlőségét írta fel, majd a baloldal helyébe az egyik gyököt, a jobboldal helyébe pedig a másikat helyettesítette, de ez a lényegen mit sem változtat. Az első ellentmondás is hasonlóan magyarázható, de ezt már nem részletezem. Róbert Gida magyarázata meg azért hibás, mert Ő a két különböző szám különböző lánctört előállításával magyarázta az elkövetett hibát, de ez most nem magyarázza a hibát, hiszen azt, hogy a két gyök különböző, nos azt eddig is tudtuk. Tanulság: Küzdenünk kell a tudásunkban megbúvó üres formalizmusok ellen.:-) Üdv.

Kiegészítek: lánctörtkifejtése valóban az amit írtál, így itt éppen egybeesik a te értelmezéseddel, de a lánctörtkifejtés már különböző.

Felírtál egy egyenletet, amit éppenséggel teljesít két különböző valós szám, amit írtál is. De egy valós szám lánctörtalakját máshogy képezzük, nem ahogy leírtad.

wikipedián megtalálod (magyarul is).

Sziasztok

Tegnap olvasgattam kicsit az aranymetszésről és egy valamit nem értek (röviden annyi, hogy ha egy szakaszt úgy osztok két részre, hogy a kisebbik úgy aránylik a nagyobbik részhez, mint a nagyobbik az egészhez, akkor a két rész aránya lesz az aranymetszés).

Definíció szerint az aranymetszést felírva:

x²-x-1=0

egyenlet pozitív gyöke lesz az aranymetszés. Ha az egyenletet x-el osztjuk, akkor:

alakot kapjuk. "x helyére x-et írva" végtelen lánctörtet kapunk.

De mi történik az egyenlet másik gyökével?

Ennek eléggé ellentmondás szaga van, mert a bal oldal negativ a jobb oldal pedig ránézésre pozitív. Sőt, ha felirjuk, hogy

Ami méginkább ellenetmondás szagú. Ez miért van? Hol a hiba a gondolkodásomban?

Áh, már értem!

Nagyon szépen köszönöm!

következmény, hiszen az f(x, y)=x definíció miatt:

f(x, z)=x

f(y, z)=y

f(x+y, z)=x+y

Az első kettőt összeadva: f(x, z)+f(y, z)=x+y És ha ezt összehasonlítod a harmadikkal, aminek a jobboldala szintén x+y, akkor:

f(x, z)+f(y, z)=x+y=f(x+y, z)

Köszi a magyarázatodat. Pont ilyen "szájbarágós" magyarázatra volt szükségem.

Az első kérdésemre ezzel választ is kaptam.

De azt meg nem értem, hogy akkor az f(x+y,z)=x+y=f(x,z)+f(y,z) az f(x,y)=x a következménye-e, vagy az utóbbi csak ugyanolyan meghatározás, mint a f(x,y)=x?

Általában, a függvények, amikkel dolgozunk egyváltozósak. Ez azt jelenti, hogy a függvény értéke csak egy változótól függ (leggyakrabban x-el jelöljük a változót). Például ilyen az f(x)=x² vagy f(x)=sin(x). Ha megmondod x értékét, én megmondom a függvény értékét.

Vannak azonban többváltozós függvények is. Itt nem csak egy változó van, hanem több. (Legegyszerűbb esetben kettő, ezeket x-el ill. y-al szoktuk jelölni.) Ilyenkor ahhoz, hogy megmondjam a függvény értékét, neked nem csak x értékét kell megmondanod, hanem y értékét is. Mondok egy példát: f(x, y)=x²+y². Ez egy kétváltozós függvény, amely a két bemeneti szám (argumentumok) négyzetösszegét adja meg. Így pl. f(3, 1)=3²+1²=10.

Persze nem muszáj, hogy y is szerepeljen f képletében, azaz pl lehet ilyen is, hogy f(x,y)=x. Ilyenkor tulajdonképpen ez nem is egy valódi kétváltozós függvény, mert f csak x-től függ. Engem nem érdekel, hogy mi az y, anélkül is megmondom neked a függvény értékét. A függvény értéke éppen az első argumentum.

Tehát pl. f(3x+8, y)=3x+8;  f(h², 79)=h²;  f(x+y, z)=x+y Lényegtelen, hogy milyen betűket használok, csak az a lényeg, hogy mi szerepel az első helyen a függvény argumentumában.

Tehát f(x, z)=x;  f(y, z)=y ezek összege pedig x+y, csakúgy, mint f(x+y, z)