Az 1999. szeptemberi számban kitűzött C-jelű matematika gyakorlatok megoldása
A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.
C. 545. Egy teli tubusban 75ml fogkrém van. Hány méter fogkrémet lehetne belőle kinyomni, ha tudjuk, hogy a kinyomott fogkrém keresztmetszetének átmérője 6 mm?
Megoldásvázlat.
A fogkrém térfogata 75ml=7,5.10-5m3.
Ha a kinyomott fogrém hossza h, akkor ennek a
3mm=3.10-3m sugarú
hengernek a keresztmetszete (3.10-3m)2
, térfogata (3.10-3m)2.h.
A két térfogat megegyezik, ezért
h=
....2,653 méter.
C. 546. Valaki leírta az egész számokat egymás mellé 1-től 1999-ig. Milyen számjegy áll az 1999-edik helyen?
Megoldásvázlat. 9 db. egyjegyű, 90 db. kétjegyű, 900 db. háromjegyű szám van. Ezek számjegyeinek száma: 9.1+90.2+900.3=9+180+2700>1999. Tehát a háromjegyűekből kevesebb kell. 1999-189=1810 számjegy marad a háromjegyű számokra. 1810=603.3+1. Tehát az 1999. számjegy a 604. háromjegyű szám első számjegye, azaz a 703 első számjegye, és ez pedig a 7.
C. 547. Egy óra nagy-, kis- és másodpercmutatója közös tengelyen van. 12 órakor fedik egymást. Legközelebb mikor lesz fedésben a három mutató?
Megoldásvázlat.
A nagymutató 12 óra alatt 11-gyel több fordulatot tesz, mint a kismutató. Ezért a nagy- és kismutató éjfélig (éjfélt is beleszámítva) tizenegyszer fedi egymást. A fedések között egyenlő idők telnek el, tehát a fedések (12/11).k óra múlva következnek be. (k=1,2,...,11)
A másodpercmutató 1 óra alatt 59-cel több fordulatot tesz, mint a nagymutató, ezért a nagy- és a másodpercmutató fedései (1/59).l óra múlva lesznek. (l=1,2,3,...)
A három mutató fedésekor (12/11).k=(1/59).l, rendezve 12.59.k=11.l.
A 11 relatív prím a 12-höz és az 59-hez is, ezért szükséges, hogy k osztható legyen 11-gyel, illetve l osztható legyen 12.59-cel. A mutatók legelső együttes fedésekor tehát k=11 és l=12.59, az eltelt idő pedig éppen 12 óra.
A mutatók tehát legközelebb csak éjfélkor fedik egymást.
C. 548. Az y(x2+y2)-x(x2+y2)-y+x=0 egyenlettel adott ponthalmaz melyik pontja van legközelebb a P(3;4) ponthoz?
Megoldásvázlat. Az egyenletet szorzattá alakítva
(y-x)(x2+y2-1)=0.
Az első tényező az origón átmenő, 45o irányú egyenes, a második az origó középpontú, egységnyi sugarú kör egyenlete. Az egyenlettel leírt halmaz e két alakzat uniója.
A P pont távolsága az origótól 5 egység, ezért a körtől
5-1=4 egység. A P-ből az x-y=1 egyenesre bocsátott
merőleges egyenlete x+y=7. A két egyenes metszéspontja a
(3,5; 3,5) pont, amely P-től 
/2 távolságra van. A két távolság közül ez a kisebb,
ezért P távolsága az alakzattól /2=0,7071... egység.
C. 549. Az egységnyi élű ABCDEFGH kocka BE lapátlójának E-hez közelebbi harmadolópontja milyen távol van a CFH háromszög síkjától (lásd az ábrát)?
Megoldásvázlat. A BDE és CFH síkok párhuzamosak, a feladat kérdése ezek távolsága.
A BE szakasz merőleges az ADGF síkra és a síkban fekvő AG testátlóra. Hasonlóan látjuk, hogy a BD, DE, CF, CG, FH szakaszok mindegyike, következésképpen a BDE és CFH síkok is merőlegesek rá. A két sík távolsága ezért egyenlő annak a szakasznak a hosszával, amit a testátlóból kimetszenek.
Az AB, EF és HG vektorok egynlőek, így ezek
vetülete az AG testátlóra ugyanaz. Tehát a BDE és
CFH síkok harmadolják a 
hosszúságú testátlót, a távolságuk pedig
/3.