Az 1999. novemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

C. 555. Melyik az a legkisebb egész szám, amelyik kétféleképpen is felírható két különböző pozitív négyzetszám összegeként?

Megoldásvázlat. A 65 kétféleképpen is felírható: 65=8²+1²=7²+4². Egy kis próbálgatással vagy az alábbi táblázatból is ellenőrizhető, hogy ez a legkisebb ilyen szám.

C. 556. Egy öt fordulóból álló futóverseny sorozaton 50 induló vett részt. Bandi minden egyes fordulóban a 10. helyen végzett. A verseny végeredményét az egyes fordulóban elért időeredmények összeadásával határozzák meg. Előfordulhatott-e, hogy az összetett versenyben Bandi

a) az első
b) az utolsó helyen végzett?

Megoldásvázlat. a) Lehetséges, hogy Bandi az első helyen végzett. Ez előfordulhatott például úgy, ha az összes többi versenyzőt legalább egyszer-egyszer megelőzte, mindegyik futamban az előtte levők legfeljebb 10 másodperccel értek el jobb időt, a mögötte végzőkkel szemben viszont 40 másodpercnél nagyobb előnnyel végzett. Ebben az esetben az összes többi versenyző legfeljebb 4 alkalommal szerzett vele szemben legfeljebb 10 másodperces előnyt szerzett, és legalább 1 alkalommal 40 másodperces hátrányt.

b) Bandi legalább 4 versenyzőt megelőzött. Mindegyik futamban 9 versenyző előzte meg Bandit, összesen tehát legfeljebb 45 olyan versenyző volt, aki legalább egyszer megelőzte. Ezért legalább 4 olyan versenyző volt, aki mindegyik futamban Bandi mögött végzett. Bandi tehát nem lehetett utolsó.

C.557. Igazoljuk, hogy nem létezik olyan egymást követő, pozitív páratlan számokból álló legalább két elemű számsorozat, amelynek összege prímszám.

Javasolta: Vajda Szilárd, Kolozsvár

Megoldásvázlat. Legyen a sorozat hossza n, az első elem 2k+1, vagyis a sorozat elemei 2k+1, 2k+3, ..., 2k+2n-1. A feltételek szerint n2 és k0.

A számtani sorozat összegképlete alapján (2k+1)+(2k+3)+...+(2k+2n-1)=n(2k+n), ami, mint látható, két 1-nél nagyobb egész szám szorzata, nem lehet prímszám.

C.558. Hány különböző rácsnégyzet jelölhető ki az nxn-es négyzetrácson úgy, hogy oldalai párhuzamosak legyenek a négyzetrács oldalaival?

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

Megoldásvázlat. A négyzetrács pontjai az (i, j) koordinátájú pontok, ahol 1i, jn. Egy kijelölt rácsnégyzet oldala lehet 1, 2, ..., n-1 hosszúságú. Ha egy rácsnégyzet oldala k hosszúságú, bal alsó sarka pedig (i, j), akkor a többi sarka (i+k, j), (i, j+k) és (i+k, j+k), tehát 1in-k-1 és 1jn-k-1. Megfordítva, minden ilyan ponthoz tartozik egy olyan k oldalú rácsnégyzet, melynek éppen ez a pont a bal alsó sarka. A k oldalú rácsnégyzetek száma tehát (n-k-1)². Ennek megfelelően az n-1, n-2, ..., 2, 1 oldalú négyzetek száma rendre 1², 2², ..., (n-1)², az összes kijelölhető négyzet száma pedig 1²+2²+...+(n-1)²=(n-1)n(2n-1)/6.

Megjegyzés. Az nxn-es négyzetrácsot úgy is értelmezhetjük, hogy a rács pontjaira 0i, jn. Ebben az esetben a végeredmény n(n+1)(2n+1)/6.

C.559. Egy gúlába (csúcsával lefelé tartva) vizet töltünk, így a víz 10 cm magasan áll benne. Nyílását lezárva alaplapjára állítjuk a gúlát, így most 2 cm magasan áll a víz. Milyen magas a gúla?

Javasolta: Koncz Levente, Budapest

Megoldásvázlat. Legyen a gúla magassága m, a víz térfogata V, a gúlában levő levegő térfogata L. A gúla teljes térfogata természetesen V+L.

Felhasználva, hogy hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbe, az első állapot alapján

,

a második alapján

.

A két egyenletet összeadva (a baloldalak összege 1) és rendezve 3m²-6m-496=0, ennek az egyenletnek a pozitív gyöke . A gúla tehát kb. 13,897 cm magas.