Az 1999. novemberi számban kitűzött fizika elméleti feladatok megoldásai

P. 3284. Fémhuzalból zárt karikát készítettünk, és az ábra szerint egy negyedkörének végpontjaiban egy-egy vezetéket forrasztottunk hozzá. Ezeket áramforrásra kapcsolva, bennük 2,4 A erősségű áram indult meg. Mekkora a fémhuzal negyedkörének és háromnegyed körének az ellenállása külön-külön, ha a forrasztási pontok között 3,6 V feszültség mérhető? Mekkora a fémkarika által felvett teljesítmény? (3 pont)

Közli: Holics László, Budapest

Megoldásvázlat. Az áram az ellenállásokkal fordított arányban oszlik meg, a negyedkörön tehát I₁=1,8 A, a háromnegyed körön pedig I₂=0,6 A folyik. Az ellenállások: R₁=2 , illetve R₂=6 , a teljes felvett teljesítmény pedig P=(I₁+I₂)U=8,64 W.

P. 3285. Egy 7,3 kg tömegű u ballon 23^o C-os hélium gázzal töltve 2,4 m átmérőjű gömbként lebeg a levegőben (nem emelkedik és nem is süllyed). A körülötte levő levegő sűrűsége 1,19 km/m³. Mekkora a héliumgáz nyomása? (4 pont)

Közli: Radnóti Katalin, Budapest

Megoldásvázlat. A ballon térfogata V=4r³ /3=7,24 m³, a kiszorított levegő tömege pedig m=8,61 kg. A héliumgáz tömege 1,31 kg, a nyomása az általános gáztörvényből számítható ki.

P. 3286. Szilvi az interneten kér segítséget barátnőjétől, Julcsitól az alábbi fizika feladat megoldásához: ,,Az ábra n mol egyatomos ideális gáz bizonyos egyensúlyi folyamatát ábrázolja. Mennyi hőt vesz fel a gáz a folyamat során?''

Sajnos, mint később kiderült, Szilvi a függőleges tengelyre hibás adatot gépelt. A helyes ábrán T helyett p betűknek kell szerepelniük.

Hányszor nagyobb a helyes eredmény annál, amit Julcsi először kapott, ha feltesszük, hogy a kezdőállapotban a helyes ábrán is T₀ a gáz hőmérséklete? (4 pont)

Közli: Kotek László, Pécs

Megoldásvázlat. A ,,hibás'' ábrán a folyamat izobár, ezért a felvett hő 2T₀c_pn=5nRT₀ (c_p=5R/2, n a mólszám, R az univerzális gázállandó).

A helyes ábrán adott folyamat végállapotában a hőmérséklet 9T₀, a teljes hőfelvétel pedig a belső energia 8T₀c_vn=12nRT₀ (c_v=3R/2) megváltozásának és az ábráról leolvasható 4p₀V₀=4nRT₀ tágulási munkának az összege, azaz 16nRT₀.

A kérdéses arány tehát: 16/5.

P. 3287. Mekkora szögsebességgel forog a v₀ kezdősebességgel vízszintesen eldobott kő sebességvektora az idő függvényében? (5 pont)

Közli: Rátz György, Mezőkövesd

Megoldásvázlat. A test vízszintes sebessége v₀ marad, a függőleges sebessége pedig t idő elteltével gt lesz. A kérdéses szögsebesség és a sebességvektor nagyságának szorzata a g nagyságú gyorsulás sebességre merőleges vetületével egyenlő:

ahonnan a keresett szögsebesség:

P. 3288. Mekkora lehet a nagyon erős motorú motorkerékpár indulási gyorsulása vízszintes úton, ha a tengelytávolság l, a tömegközéppont magassága h, a talaj és a kerekek közötti súrlódási tényező ? A kerekek tehetetlenségi nyomatéka kicsi, terhelésük - egyensúlyi helyzetben - egyenlő. (5 pont)

Közli: Bakonyi Gábor, Budapest

Megoldásvázlat. Két esetet kell megkülönböztetnünk:

a) Kis esetén a meghajtó kerék ``kipörgése'' szab határt a gyorsító erőnek. Az együttes súlypontra felírt forgatónyomaték egyenlet szerint a teljes súly

hányada nehezedik a meghajtott kerékre, igy a gyorsulás

b) Ha >l/(2h), a hátsó kerék nem csúszik meg, de túl nagy gyorsulás esetén a motor eleje felemelkedik. A forgatónyomaték egyenlet szerint a határesetben a meghajtó erő (a hátsó kerékre ható surlódási erő)

(Ez a helyzet instabil, hiszen a kiszámított gyorsulást tetszőlegesen kicsiny mértékben túllépve a motorkerékpár ,,felágaskodik'' és hátrafelé átfordul (hacsak a motoros nem változtatja meg a motorhoz viszonyított helyzetét, nem dől előre).

P. 3289. Vákuumban egymástól 3 m távolságra két elektromos dipólus helyezkedik el, dipólnyomatékuk 6^.10^-6 C m illetve 2^.10^-7 C m. (A dipólusokat közelítsük töltéspárokkal.) Mennyi a két dipólus kölcsönhatási energiájának legkisebb és legnagyobb értéke? A dipólokat alkotó pontszerű töltések mindkét esetben egy egyenesen helyezkednek el.) (6 pont)

Közli: Légrádi Imre, Sopron

Megoldásvázlat. A két dipól kölcsönhatási energiáján azt az energiát értjük, ami ahhoz kell, hogy őket a végtelenből a megadott távolságra közelítsük, azaz az egyik dipól töltéseinek a másik dipól töltései terében vett potenciális energiáját. A dipólokat távolságra levő q₁, illetve q₂ nagyságú töltéspárral helyettesítve az egymástól r (r>>) messze levő dipólok kölcsönhatási energiája

(m₁=q₁^. és m₂=q₂^. a megadott nagyságú dipólnyomatékokat jelöli.)

Ha valamelyik dipólt megfordítjuk, az a töltéseinek előjelváltásával egyenértékű, ekkor tehát a kölcsönhatási energia is előjelet vált.

P. 3290. Egy proton-nyalábnak először egy 4 cm szélességű, homogén, B₁=0,2 T indukciójú mágneses mezőn, azután egy ehhez kapcsolódó másik, ugyancsak 4 cm szélességű, homogén, de B₂=0,4 T indukciójú mágneses mezőn kell áthaladnia. A két mező B-vonalai párhuzamosak, ugyanolyan irányuak; a protonok kezdősebessége a B-vonalakra és a mágneses mezők határfelületére is merőleges.

Mekkora gyorsítófeszültségre van szükség ahhoz, hogy a protonok át tudjanak hatolni mindkét mágneses mezőn? (4 pont)

Közli: Varga István, Békéscsaba

Megoldásvázlat. A protonok olyan pályán mozognak, amely két, r₁:r₂=2:1 sugár-arányú körívből áll. Ezek közül a nagyobb a B₁ mágneses mezőt határoló síkra merőlegesen indul, ehhez a két mezőt határoló sík metszésekor érintőlegesen csatlakozik a másik ív. Határesetben ez az ív érinti a B₂ mezőt a másik oldalról határoló síkot. Ebből a geometriából r₁=3d adódik (d=4 cm az egyes mezők ,,vastagsága''). Ebből a sebesség v=2,3^.10⁶ m/s, és a gyorsítófeszültség U=27,6 kV.

P. 3291. Hány százalékkal tér el egymástól a deutérium és a hidrogénatom által kibocsátott legkisebb frekvenciájú látható fény hullámhossza? (5 pont)

Közli: Bíró Tibor, Marosvásárhely

Megoldásvázlat. A hidrogén és a deutérium atomi szinképe két okból tér el egymástól:

(i) A foton kisugárzásakor az atom hátralökődik úgy, hogy az összes impulzus nulla, de az energia egy része az atom mozgási energiája marad. Ezért a ténylegesen észlelhető frekvencia (a mag tömegét M-mel jelölve) hf²/2Mc²-tel kisebb, mint az energiaszintek távolságából számított érték. Ez a legrosszabb esetben is csak E₀/2Mc²=7^.10^-9 nagysagú relatív eltolódást jelent (E₀ az alapállapoti energia). Ez olyan kicsi effektus, hogy elhanyagolhatjuk.

(ii) A hidrogénatom energiaszintjeit megadó Balmer-formula kicsit módosul, ha az elektron nem rögzített vonzócentrum, hanem a közös tömegközéppont körül mozog. Ez a jelenség az izotópeffektus, amelyet pl. úgy számíthatunk ki, hogy a Bohr-féle kvantumfeltételt (miszerint az elektron perdülete a 2-vel osztott Planck-állandó egész számú többszöröse kell legyen) általánosítjuk, a rendszer teljes perdületére követeljük meg az impulzusnyomaték ,,kvantáltságát''. A számítás eredménye az energiaszintekre:

A képletben m_r az elektron redukált tömegét jelöli:

Ebből a hidrogén (M=m_p) és a deutérium (M=2m_p) egymásnak megfelelő színképvonalaira

relatív eltérés adódik.

P. 3292. Az ablak melletti asztallapon fekvő átlátszó műanyagvonalzón néha érdekes, színes csíkokat vehetünk észre. Adjunk magyarázatot a jelenségre! (5 pont)

Közli: Radnai Gyula, Budapest

Megoldásvázlat. Ismert jelenség, hogy két polárszűrű közé helyezett műanyagvonalzó anyag belsejében a gyártás során felgyűlt feszültségekre utaló jellegzetes csíkrendszert mutat. (A vonalzó anyaga kis mértékben forgatja a fény polarizációs síkját, és a fényforgatás mértéke az anyagbeli mechanikai feszültségektől is függ.)

A leírt jelenség azért jöhet létre polárszűrők nélkül is, mert az ablakról, illetve a műanyagvonalzó alsó felületéről visszaverődő fény a tükrözés törvényei szerint részlegesen polarizálttá válik.

P. 3293. Vízszintes asztallapon álló m tömegű, r sugarú, vékony, keskeny abroncs alján ugyancsak m tömegű test nyugszik. A kis testet az abroncs síkjába eső vízszintes, kicsiny v₀ kezdősebességgel elindítjuk. Hogyan mozog a továbbiakban az abroncs középpontja? A súrlódás mindenütt elhanyagolható.) (6 pont)

Közli: Balogh Péter, Budapest

Megoldásvázlat. Az abroncs forgás nélkül mozog, mert csak radiális erők hatnak rá. A közös tömegközéppont v₀/2 sebességgel halad, erre a mozgásra szuperponálódik a két test esetében ellenkező előjellel egy körfrekvenciájú rezgőmozgás, melynek a sebesség-amplitúdója ugyancsak v₀/2. Az abroncs középpontjának elmozdulása és sebessége rendre