A 2000. februári C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaLban folyamatosan közöljük.

C. 570. Határozzuk meg azokat a háromjegyű prímszámokat, amelyekben a számjegyek szorzata 189.

Megoldásvázlat. 189=3^3.7 csak egyféleképpen írható fel 10-nél kisebb pozitív egészek szorzataként: 189=3^.7^.9. Ez a három számjegy 6-féleképpen rendezhető sorba, így 6 olyan háromjegyű szám van, amiben a jegyek szorzata 189: 379, 397, 739, 793, 937 és 973. Ezek közül 793=13^.61 és 973=7^.139 összetett, a többi prím.

C. 571. Egy kertben álló négyzet alapú kutyaház oldala 1,2 m hosszú. Az egyik sarkától 30 cm-re, a bejáratával azonos oldalon a kutyaház külső falához kötötték ki a kutyát egy 3 méteres lánccal. Mekkora területen mozoghat a kutya?

Megoldásvázlat. Az a terület, amelyen a kutya mozoghat, az ábrán látható. Ez a terület négy körcikkre és egy derékszögű háromszögre bontható, ezek területének összege körülbelül 24,9095 négyzetméter. (A kutyaházzal együtt 26,3495 négyzetméter.)

C. 572. A 6 cm sugarú körbe írt szabályos hatszög és beírt négyzet egy-egy oldala párhuzamos. Számítsuk ki a kör azon részének területét, amely a hatszög és a négyzet párhuzamos oldala között van és nem tartalmazza a kör középpontját.

Megoldásvázlat. Az ábrán a rózsaszínnel kszínezett rész területét úgy számíthatjuk ki, hogy az OAB és OCD körcikkek valamint az OBC háromszög területének összegéből kivonjuk az OAD háromszög területét. A végeredmény: 3+9-187,0132 egység.

C. 573. Határozzuk meg mindazokat az n pozitív egész számokat, amelyekre

1²+2²+...+n²=1+2+...+(2n-1)+2n.

Megoldásvázlat. A négyzetszámok összegképletét és számtani sorozat összegképletét felhasználva

C. 574. Milyen összefüggésnek kell fennállnia egy téglatest élei között ahhoz, hogy kettévágható legyen két egybevágó, az eredetihez hasonló téglatestre?

Megoldásvázlat. Tegyük fel, hogy egy téglatestet félbevágtunk két hozzá hasonló, egymással egybevágó téglatestre. Hasonló testek esetén a térfogatok aránya a hasonlóság arányának köbe. Ezért ha az eredeti téglatest éleinek hossza a<b<c, akkor a fél téglatestek éleinek hosszai <<. Az eredeti téglatest leghosszabb éle, c nem szerepel a fél téglatestek oldalai között, tehát erre merőleges vágással feleztük el. A fél téglatestek élei közül pedig biztosan nem szerepel az eredeti téglatest élei között, tehát ez a c oldal fele: =c/2. A maradék két él, a és b, illetve és ugyanaz, tehát a= és b=. A kapott egyenleteket összegezve, .