A 2000. februári számban kitűzött fizika elméleti feladatok megoldásai

P. 3315. Egy gyerek azt kérdezte: Miért akkor van nálunk tél, amikor a Föld a legközelebb van a Naphoz? Válaszoljunk rá! (3 pont)

Közli: Rókáné Kalydi Bea, Nyíregyháza

Megoldásvázlat. A Föld-Nap távolság változása a pálya mentén nagyon kicsiny, ez nem okozhat számottevő hőmérséklet ingadozást, viszont nagyon sokat számít, hogy egy adott területet milyen szögben érik a Nap sugarai. Ha egy helyen a beesési szög , ott a Föld-felszín egységnyi felületére eső teljesítmény I₀cos  (I₀ a sugárzás intenzitása). Mivel a Föld tengelye a Föld pályasíkjára nem merőleges (attól 23^o-kal eltér), a Föld egy pontján változik a nappal hossza és a Nap delelésének a magassága, ahogy a Föld a pályáján halad. Nálunk akkor van tél, amikor legrövidebbek a nappalok és legalacsonyabban delel a Nap, így a Föld-felszínt érő sugárzás intenzitásának a napi átlaga a legalacsonyabb.

P. 3316. Szabályos háromszög alapú prizmával, amelynek közepes törésmutatója n=1,5, a napsugárzás színképét akartam a falon előállítani. Forgattam a prizmát, hogy a napsugarak merőlegesek legyenek a prizma éleire, s közben észrevettem, hogy a padlón is megjelenik a színkép, de fordított sorrendben. Miért? Milyen beesési szögek esetén van jelen mind a két színkép? (4 pont)

Közli: Varga István, Békéscsaba

Megoldásvázlat. Ha a prizma úgy áll, hogy egyszerre két lapját is éri a fény, a különböző lapokat érő sugarak egymással ellentétes irányba törnek meg, és a két színkép a két különböző lapon áthaladó fény-nyalábtól ered.

P. 3317. Legfeljebb milyen magas oszlopot lehetne építeni -0,1 ^oC-os jégkockákból? (4 pont)

Közli: Simon Péter, Pécs

Megoldásvázlat. A jégoszlop alján a megnövekedett nyomás miatt megváltozik a jég olvadáspontja. Az olvadáspont nyomásfüggése a

összefüggésből (ahol T₀ az olvadáspont, T₀ annak változása p nyomásváltozás hatására, _v/j a víz/jég sűrűsége, végül L₀ az olvadáshő), vagy táblázatbeli adatokból számolható. Eszerint 0,1 K olvadáspontcsökkenéshez 1,4^.10⁶ Pa nyomásnövekedés kell, ez 150 m magas jégoszlopnak felel meg. (A nyomásnövekedés kb 14 légköri nyomás, ennyit egy jégkocka - ha csak két oldalról nyomjuk - nyilván nem bír ki mechanikailag, de ha gondoskodunk arról, hogy az oszlop alját minden irányból ez a nyomás érje, akkor éppen a megolvadás jelenti, hogy a jég szerkezete ,,összeomlik''.)

P. 3318. L hosszúságú fonál végei azonos magasságban, egymástól D távolságra vannak rögzítve. A fonálon egy kis gyöngy csúszkálhat, súrlódás nélkül. Kis kitérések esetén mennyi lesz a gyöngy mozgásának periódusideje, ha

a) a kitérés a fonál síkjára merőleges;

b) a kitérés benne van a fonál síkjában? (5 pont)

Közli: Tichy-Rács Ádám, Budapest

Megoldásvázlat. a) A test egy l sugarú köríven leng,

ahol

b) A test most ellipszispályán mozog, de kis kitérések esetén ez olyan, mint egy R hosszúságú inga lengése, ha R az ellipszishez a legalsó pontjában simulókör sugara:

ahol

P. 3319. Vákuumban U=250 V feszültséggel felgyorsított keskeny elektronnyaláb tengelyétől r=2 mm-re B=8^.10^-6 T mágneses indukciót hoz létre. Mekkora erőt fejt ki az elektronnyaláb az útjába helyezett fémlapra? Tételezzük fel, hogy az elektronok 20 %-a rugalmasan visszaverődik, a többi pedig elnyelődik az anyagban. (4 pont)

Közli: Holics László, Budapest

Megoldásvázlat. Az elektronnyaláb által vitt áram I=ne, ahol n az egységnyi idő alatt becsapódó részecskék száma, e pedig az elektron töltése. Becsapódáskor a lemeznek időegység alatt átadott impulzus, vagyis az erő: F=(1+)nmv=(1+)Ivm/e (v az elektron sebessége, m a tömege és =0,2 az elektronok rugalmasan visszaverődő hányada). Az áramot a mágneses indukció értékéből (B=₀I/(2r)), a sebességet pedig a gyorsítófeszültségből (mv²/2=eU) kaphatjuk meg. Így végül a kérdéses erő:

P. 3320. Nehézion-gyorsítóban azonos feszültséggel gyorsítunk elhanyagolható kezdősebességű -részecskéket, C és Ca atommagokat. Hogyan aránylanak egymáshoz az elért végsebességek? Függ-e a végeredmény a gyorsítófeszültség nagyságától? (4 pont)

Közli: Radnóti Katalin, Budapest

Megoldásvázlat. Az elért végsebességek jó közelítéssel (ezrelék pontosságig) azonosak, mert a kérdéses magok fajlagos töltése (a töltésük és tömegük aránya) a kötési energiákból adódó kicsiny különbségektől eltekintve ugyanakkora. (Feltételezzük, hogy a szén esetében nem a 14-es tömegszámú radioaktív izotópról, hanem a 12-es stabil magról van szó.) Ez még akkor is igaz, ha a gyorsítófeszültség olyan nagy, hogy a relativisztikus energia-képletet kell alkalmaznunk.

P. 3321. Szóródási kísérletekből arra lehet következtetni, hogy az A tömegszámú atommagban valamennyi nukleon rA^1/3.1,2^.10^-13 cm sugarú gömbben helyezkedik el, szorosan egymás mellett. Számítsuk ki az atommag sűrűségét! Mekkora az átmérője egy ilyen átlagsűrűségű, a Nappal megegyező tömegű csillagnak? Mekkora egy ilyen csillag felszínén a szökési sebesség? (4 pont)

Közli: Gáspár Merse Előd, Fazekas M. Főv. Gyak. Gimn.

Megoldásvázlat. A térfogat

a tömeg M=Am_n, ahol m_n=1,7^.10^-27 kg egy nukleon tömege, így a sűrűség =2,3^.10¹⁷ kg/m³. A Nap tömege M=2^.10³⁰ kg ezért az adott sűrűségű, a Napéval azonos tömegű csillag (neutroncsillag) sugara R=1,3^.10⁴ m=12,7 km. A szökési sebességet a

klasszikus összefüggésből számolva v=1,4^.10⁸ m/s adódik. Mivel ez a fénysebesség fele, a klasszikus összefüggés nem használható, de nagyságrendi becslésnek jó. (A mozgási energia relativisztikus kifejezését használva v=1,3^.10⁸ m/s-ot kapunk. Ha a relativisztikus hatásokat következetesen figyelembe akarjuk venni, akkor azonban nem elegendő a Newton-féle dinamikai törvények relativisztikus alakjával számolnunk, hanem az általános relativitáselmélet törvényeit kell alkalmaznunk.)

P. 3322. Egy elektromosan töltött kicsiny gyöngyszem vízszintes síkban súrlódásmentesen mozoghat egy kör alakú szigetelő huzalon. A kör középpontjában vízszintes tengelyű, rögzített helyzetű elektromos dipól található. Kezdetben a gyöngyszem a dipól tengelyére merőleges helyzetben áll.

a) Mekkora erővel nyomja mozgása során a gyöngyszem a huzalt?

b) Hol áll meg a gyöngyszem az elengedése után először?

c) Milyen pályán mozogna a gyöngyszem a vízszintes síkban, ha nem lenne felfűzve a huzalra? (6 pont)

Közli: Gnädig Péter, Budapest

Végeredmény. a) A gyöngyszem csak a súlyából adódó mg erővel nyomja a huzalt, vízszintes erőt nem fejt ki rá.

b) A gyöngyszem a dipól tengelyére merőlegesen, a kiindulási helyzettel átellenes pontban áll meg először. Mozgása a huzalon éppen olyan, mint egy 90 fokban kitérített matematikai inga mozgása lenne (almalmasan választott erősségű gravitációs térben).

c) A gyöngyszem huzal nélkül is ugyanúgy mozogna, mintha fel lenne fűzve egy huzalra. (Ez az állítás csak a feladatban leírt kezdőfeltétel esetén igaz.)

P. 3323. Egy interkontinentális ballisztikus rakéta kezdősebességének nagysága az első kozmikus sebesség fele, iránya a vízszintessel 45^o-os szöget zár be.

a) Mekkora a rakéta pályájának nagytengelye és kistengelye?

b) Legfeljebb milyen magasra emelkedik a rakéta a földfelszín fölé?

c) Az indítási helytől milyen messze ér földet?

d) Mennyi ideig mozog a rakéta?

(A Föld forgásától tekintsünk el.) (6 pont)

Közli: Horányi Gábor, Budapest

Végeredmény. a) A Föld sugarát R-rel jelölve (az energia- és a perdületmegmaradás tételéből kaphatóan) a nagytengely:

a kistengely:

Az ellipszis excentricitása .

b) A rakéta legnagyobb távolsága a földfelszíntől:

h0,0765 R=484 km.

c) Az indítási és a becsapódási hely szögtávolsága (a Föld középpontjára vonatkoztatva) 2=16,3^o=0,284 radián. A földetérés távolsága (a Föld felszínén mérhető körív hossza)

d=2R1812 km.

d) t11,8 perc.