A 2000. áprilisi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaLban folyamatosan közöljük.

C. 580. Kati dolgozatot írt matematikából, majd még egy javító dolgozatot is írt. A tanár a két jegy helyett azok átlagát írta be az osztályozó füzetébe. Bizonyítsuk be, hogy Kati akkor jár jobban ezzel, ha a többi matematika jegyeinek átlaga nagyobb a két dolgozatjegy átlagánál.

Kovács Gabriella, Budapest

Megoldásvázlat. Jelölje a két dolgozat átlagát b és tegyük fel, hogy ezen kívül Kati n (n1) dolgozatot írt, melyek átlaga c. Ekkor Kati összes jegyének átlaga , míg ha a két jegy helyett azok átlaga kerül beírásra, akkor a beírt jegyek átlaga . Mármost A₂>A₁(n+2)[nc+b]>(n+1)[nc+2b]nc>nbc>b, és ezt kellett bizonyítanunk.

C. 581. Négy jármű egyszerre indul el A-ból, és egymást követően egyenlő időközönként érkezik meg B-be. A leggyorsabb és a leglassúbb jármű sebessége v₁, ill. v₄. Mekkora a másik két jármű sebessége?

Megoldásvázlat. Legyen a járművek sebessége v₁>v₂>v₃>v₄, A és B távolsága s, és az út megtételéhez szükséges idők rendre t₁<t₂<t₃<t₄. Ekkor t₁v₁=t₂v₂=t₃v₃=t₄v₄=s. Tudjuk még, hogy t₂-t₁=t₃-t₂=t₄-t₃. Innen , és így , . Innen adódik. Hasonlóképpen .

C. 582.  Az ábrán látható sáv szélessége 1 m. Mekkora a területe?

Nagy Zoltán 9. o.t., Budapest

Végeredmény. 200/3 m²66,67 m².

C. 583.  Egy gúla alapja egység oldalú négyzet. Egyik oldaléle szintén egységnyi hosszú és egybeesik a gúla magasságával. Mekkora a legnagyobb lapszöge?

Salát Máté 9. o.t., Budapest

Megoldásvázlat. Három egybevágó ilyen test összeilleszthető egy kockává az ábrán látható módon. Ezek közös élénél van a keresett szög, mivel a gúla összes többi lapszöge 90^o vagy 45^o-os. Három egybevágó szög összege 360^o, tehát a gúla legnagyobb lapszöge 360^o/3=120^o.

Salát Máté dolgozata alapján

C. 584. Egy körnek a területét vagy a kerületét tudjuk jobban (kisebb relatív hibával) közelíteni a körbe írt szabályos n-szög segítségével?

Megoldásvázlat. Tekintsünk egy r sugarú körbe írt szabályos n-szöget, ezt a kör középpontjából a csúcsokba húzott sugarak n db. egybevágó egyenlőszárú háromszögre bontják. Egy ilyen háromszög alapja 2rsin, magassága pedig rcos. Ezért az n-szög kerülete ill. területe 2rnsin és r²nsincos nagyságú. Ezért a sokszög és a kör kerületének aránya K=sin, míg a területek aránya T=sincos=K^.cos, tehát K>T. Ez pedig azt jelenti, hogy a kerület közelítésének relatív hibája, 1-K, kisebb a terület közelítésének relatív hibájánál, ami 1-T.