A 2000. decemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása
A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.
C. 605. Oldjuk meg az alábbi egyenletet.
([x] az x szám egész részét és {x} a tört részét jelöli.)
Megoldás.Az egyenlet mindkét oldalát [x]{x }-szel beszorozva kapjuk, hogy
{x }+[x]=x[x]{x }.
Mivel x=[x]+{x }, ezért a fentiekből x=x[x]{x } következik. Mivel x=0 nem megoldása az egyenletnek, ezért x-szel leosztva kapjuk, hogy 1=[x]{x }. Mivel [x] nem lehet 0, ezért 1/ [x]={x }, amiből következik, hogy x n+1/ n alakú, ahol n 1-nél nagyobb pozitív egész szám.
C. 606. Az udvaron egy téglalap alakú részt egyforma négyzetlapokkal lebetonoztak. Pontosan 20 sort raktak le, s minden sorban 35 lap van. Egy csiga elindul a téglalap egyik csúcsából az átló mentén. Hány négyzetlap belsején halad át, mire a szemközti csúcsba ér?
Megoldás.20x35=(5.4)x(5.7), tehát a téglalap átlója 5 darab 4x7-es téglalap átlójából tevődik össze. Elég tehát egy 4x7-es részt megvizsgálnunk:
Tehát a csiga 5.10=50 darab négyzetlap belsején halad át, mire a szemközti csúcsba ér.
C. 607. Egy 12 cm oldalú négyzetet a P pont körül 90o-kal elforgatunk. A két négyzet együttesen 211 cm2 területet fed le. Az elforgatott négyzetet a P körül ismét elforgatjuk 90o-kal, így egy harmadik négyzetet kapunk. A három négyzet által lefedett terület 287 cm2. Határozzuk meg a P pont helyzetét.
Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest
Megoldás.Jelölje az eredeti négyzetet N, 90o-os elforgatottját N', 180o-os elforgatottját pedig N''. Ha N és
N' unióját forgatjuk el P körül 90o-kal, akkor N' és N'' unióját kapjuk. Mivel
76=287-211=
=211-144=67. Viszont 67 kisebb 76-nál, tehát nincs ilyen P pont.
C. 608. Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy KENO sorsolás alkalmával az 1-től 80-ig terjedő egész számok közül kisorsolt 20 szám egyikében sem fordul elő a 8-as számjegy?
Megoldás.1-80-ig 9 olyan szám van, amiben szerepel a 8-as számjegy. Tehát 71 olyan számot húzhatunk a 80-ból, ami megfelel a feltételeknek. A valószínűség pedig
C. 609. Bizonyítsuk be, hogy a 3x-4y+4=0 egyenletű egyenes a sík bármely rácspontjától racionális távolságra van.
Megoldás.A geometriai feladatgyűjtemény II. kötetének 752. feladata alapján egy P(p,q) koordinátájú pont távolsága a 3x-4y+4 egyenletű egyenestől
ami p,q 
esetén racionális.