A 2002. márciusi számban kitűzött fizika elméleti feladatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

P. 3509. Lehetséges-e, hogy egy elejtett, szabadon eső test az esés utolsó másodpercében kétszer akkora utat tegyen meg, mint az ezt megelőző másodpercben? (3 pont)

Közli: Sütt Dezső, Budapest

Megoldás. Igen. 1,5 s és 2,5 s között a kő kétszer annyit esik, mint 0,5 s és 1,5 s között.

P. 3510. Egy 4 dm² alapterületű, függőleges hengerben 32 g tömegű, 0 ^oC hőmérsékletű oxigéngázt 150 kg tömegű dugattyú zár el. A külső légnyomás 1,01^.10⁵ Pa. A henger tengelye függőleges, a dugattyú súrlódás nélkül mozoghat benne.

Milyen magasan áll a dugattyú? Mennyi hőt kell közölni a gázzal, hogy a dugattyú 20 cm-rel feljebb emelkedjék? (4 pont)

Bay Zoltán verseny, Sarkad

Megoldás. A hengerben levő gáz nyomása p=1,38^.10⁵ Pa, hőmérséklete T=273 ^oK, mennyisége pedig n=1 mol. Az általános gáztörvényből a térfogat, abból pedig a magasság megkapható: h=41 cm.

A dugattyú emelkedése közben a nyomás nem változik. A kétatomos gázok mólhőjének ismeretében a gáztörvény felhasználásával Q=(7/2)p$\displaystyle \Delta$V=3,86 kJ.

P. 3511. Függőleges falba vert szögön lóg egy l hosszú fonálinga. Az ingát vízszintesen kitérítve tartjuk, majd elengedjük. Amikor már a vízszinteshez képest $alpha$ szöggel elfordult, a fonál egy másik szögbe ütközik, s ettől kezdve a fonál végén lévő kis test már e második szög körüli köríven folytatja útját. Milyen messze lehet a második szög az elsőtől, ha a test az új körpályán teljesen végigfut? (4 pont)

Közli: Farkas László, Keszthely

Megoldás. A kérdéses távolság

$\displaystyle x\ge l\cdot\frac{3}{3+2\sin\alpha}.$

P. 3512. Egy épület egyik oldalát erős napsugárzás éri. Milyen irányú huzat fúj át az épületen, ha a napos és az árnyékos oldalán is kinyitunk egy-egy ablakot? (3 pont)

,,Keresd a megoldást!'' verseny, Szeged

Megoldás. A hideg oldal felől a meleg felé: a meleg fal mellett felszálló áramlás alakul ki, és a felszálló meleg levegő helyére mindenhonnan - így a lakáson keresztül is - hidegebb levegő áramlik.

P. 3513. Becsüljük meg, hogy mekkora menetellenállást jelent az autók számára az eső szélcsendben! Tegyük fel, hogy $\frac{1}{2}$ óra alatt 10 mm csapadék esett, az esőcseppek átmérője 2 mm, az autó homlokfelülete 1,5 m², sebessége 90 km/h. Hogyan aránylik egymáshoz az eső és a levegő sűrűsége? (5 pont)

Közli: Sári Péter, Budapest

Megoldás. A levegő átlagsűrűsége a benne levő esőcseppek miatt megnő, mondjuk $\displaystyle \Delta$ $\rho$ -val, ezért a közegellenállás is megnő kb. (1/2)A $\Delta$ $\rho$ v²-tel. (A gépkocsi alaktényezőjét az egyszerűség kedvéért 1-nek vettük. Nagyságrendi becsléseknél az ilyen ,,nagyvonalúság'' megengedett.)

Úgy is érvelhetünk, hogy az autónak ütköző vízcseppeket az autó magával sodorja, így azoknak mv²/2 energiát kell adnia, az ehhez szükséges átlagos erő ugyancsak $\sim$ (1/2)A $\Delta$ $\rho$ v². ( $\tau$ idő alatt az autónak ütköző víz tömege $\sim$ $\Delta$ $\rho$ Av $\tau$ , a víznek átadott energia $\sim$ (1/2) $\Delta$ $\rho$ Av³ $\tau$ , mindez v $\tau$ úton.) (A kétféle gondolatmenettel kapott erőt nem szabad összeadni, hiszen mindkettő ugyanazt a fizikai jelenséget írja le.)

A vízcseppek a levegőben a közegellenállás miatt már állandó sebességgel esnek. Ez a sebesség k=0,45 (a gömbre jellemző) közegellenállási tényezőt használva v₀ $\approx$ 7 m/s-nak adódik. Ha t=1800 s idő alatt h=10^-2 m mennyiségű csapadék esik, az eső sűrűsége $\Delta$ $\rho$ = $\rho$ _vh/v₀t $\approx$ 8^.10^-4 kg/m³. Innen $\Delta$ F $\approx$ 0,4 N.

Az esővíz sűrűsége mintegy ezerszer kisebb, mint a levegő sűrűsége, s ennek megfelelően az általa okozott menetellenállás-változás is elhanyagolhatóan kicsi a levegő fékező hatásához képest.

P. 3514. $alpha$ =30^o hajlásszögű, két különböző felülettel rendelkező, hosszú lejtő tetejéről kezdősebesség nélkül induló m=4 kg tömegű, tömör henger mozgását vizsgáljuk. A lejtő első szakasza nagyon sima, a súrlódási tényező $mu$ ₁=0, a második szakaszon pedig a súrlódási tényező $\mu_2=\mathop{\rm tg}\alpha$ . Erre a felületre a henger akkor érkezik, amikor a lejtőn haladva függőleges irányban már h=1,8 m-t süllyedt.

a) Az indítástól számítva mennyi idő múlva fog a henger tisztán gördülni?

b) Mennyi mechanikai energia vész el a henger mozgása során? (5 pont)

Közli: Kotek László, Pécs

Megoldás. a) t=1,8 s.

b) $\Delta$ E $\approx$ 36 J.

P. 3515. Síkkondenzátor egy-egy lemezének területe 1500 cm², a lemezek távolsága 20 mm. Rákapcsoltunk egy 250 V-os telepet, majd betoltunk a lemezek közé, azokkal párhuzamosan egy 5 mm vastag fémlemezt és egy ugyancsak 5 mm vastag üveglemezt ( $varepsilon$ _rel=5). Mennyi munkát végeztünk a lemezek betolása során? (5 pont)

Zemplén Győző verseny, Nagykanizsa

Megoldás. Egy síkkondenzátor kapacitása C= $\varepsilon$ ₀ $\varepsilon$ _rA/d. Először A=0,15 m², d=0,02 m, és $\varepsilon$ _rel=1. A h=5 mm vastag fémlemez betolása olyan, mintha a fegyverzetek távolsága d-h=0,015 m-re csökkenne (még akkor is, ha a betolt lemez nem ér hozzá a fegyverzetek egyikéhez sem, azaz két légrés keletkezik). Az üveg betolása után a rendszer úgy adható meg, mintha két sorba kötött kondenzátorunk lenne, egyikben a fegyverzetek távolsága d-2h=0,01 m és $\varepsilon$ _rel=1, a másikban a távolság $\delta$ , és $\varepsilon$ _rel=5. Ennek alapján az eredő kapacitások

$C_0=\varepsilon_0{A\over d}=66{,}4~{\rm pF},$

$C_1=\varepsilon_0{A\over d-h}=88{,}5{\rm~pF},$

$C_2=\left({d-2h\over A\varepsilon_0}+ {d\over A\varepsilon_0\varepsilon_r}\right)^{-1}=121{\rm~pF}.$

A lemezek betolása során a kondenzátor energiája előbb

$\Delta E_1=\frac12U^2(C_1-C_0)=6{,}9\cdot10^{-7}\rm~J,$

utóbb pedig

$\Delta E_2=\frac12U^2(C_2-C_1)=1{,}02\cdot10^{-6}\rm~J$

értékkel nő.

Ez az energianövekedés azonban nem egyezik meg az általunk végzett munkával, hiszen a telep is végez munkát. A kondenzátoron levő töltés kezdetben

Q₀=1,66^.10^-8 C,

a fémlemez betolása után pedig

Q₁=2,21^.10^-8 C.

a telep által végzett munka

=(Q₁-Q₀) U=13,8^.10^-7 J,

ez éppen kétszerese a kondenzátor energianövekedésének. A telep tehát amellett, hogy a kondenzátor energiáját növelte, rajtunk (a lemezt betolókon) is végzett valamennyi, nevezetesen W₁=6,9^.10^-7 J-nyi munkát. Hasonlóan az üveglemez betolásakor sem kellett (pozitív) munkát végezzünk, az általunk végzett munka W₂=-1,02^.10^-6 J.

A negatív munkavégzésből arra következtethetünk, hogy a kondenzátor (a szélén levő inhomogén elektromos mező miatt) vonzóerőt fejt ki a fémlemezre is és az üveglemezre is.

P. 3516. Az ábrán látható négyzetes keresztmetszetű gyűrű egyik fele rézből, másik fele alumíniumból készült. A gyűrű belső sugara 8 cm, külső sugara 10 cm, és bemerül egy, a síkjára merőleges, 0,1 T indukciójú homogén mágneses térbe.

Mekkora töltés halmozódik fel az összeillesztéseknél, ha a mágneses indukció értékét 2 másodperc alatt egyenletesen zérusra csökkentjük? (6 pont)

Közli: Pálfalvi László, Pécs

Megoldás. A kétféle fém eltérő fajlagos ellenállását $\varrho$ ₁-gyel, illetve $\varrho$ ₂-vel jelölve

$Q=\,\frac{\varepsilon_0}{2}\,\frac{\Delta B}{\Delta t}\, \frac{\varrho_1-\varrho_2}{\varrho_1+\varrho_2}\, \left(r_2-r_1\right)\,\left(r_2^2-r_1^2\right).$

A megadott számadatokkal, továbbá az alumínium és a réz vezetőképességének táblázatban megtalálható értékeivel

Q $\approx$ 5^.10^-18 As

adódik. Ez 31,3 elemi töltésnek felel meg, ami annyit jelent, hogy körülbelül 31 vagy 32 többlet-elektron jelenik meg az egyik összeillesztésnél, a másiknál pedig ugyanennyi elektronhiány alakul ki.

P. 3517. Egy radioaktív sugárforrás felezési ideje T, s kezdetben r₀ távolságra van a mérőműszerünktől. Egyszer csak elindul felénk úgy, hogy mérőműszerünkön a beütésszám nem változik.

Adjuk meg a sugárforrás és a műszer közötti távolságot az idő függvényében! Mekkora volt a radioaktív forrás kezdősebessége? (A levegő abszorpciós hatásától tekintsünk el!) (5 pont)

Közli: Simon Péter, Pécs

Megoldás. A sugárforrástól r távolságra mért beütésszám

$n={\alpha e^{-\lambda t}\over r^2},$

ahol $\alpha$ egy arányossági tényező és $\lambda$ =ln 2/T a bomlásállandó.

Ha a mért beütésszám állandó,

$r(t)=r_0e^{-\lambda t/2},$

ahol r₀ a forrás és a detektor távolsága a t=0 időpillanatban. Innen a kezdősebesség differenciálással, vagy az exponenciális függvény $e^\epsilon\approx1+\epsilon$ (ha $\vert\epsilon\vert\ll1$ ) közelítésével

$v_0={r(\Delta t)-r_0\over\Delta t}=r_0{e^{-\lambda\Delta t/2}-1\over\Delta t} ={r_0\lambda\over2}{e^{-\epsilon}-1\over\Delta\epsilon} \approx-{r_0\lambda\over2}=-{r_0\ln2\over2T}.$

P. 3518. A XIX. században a Napot égő széntömbnek vélték, amely sugárzása által veszíti el energiáját. A napsugárzás intenzitása a Földön 1400 W/m². Tételezzük fel, hogy ez az intenzitás a jövőben sem csökken! A Nap tömege 2^.10³⁰ kg, távolsága a Földtől 1,5^.10¹¹ m, a szén fűtőértéke 30 MJ/kg.

Mennyi ideig sütne még a Nap, ha valóban égő szénből állna? (A számítás eredménye a korabeli tudósokat is meglepte.) (4 pont)

Közli: Korpássy Péter, Budapest

Megoldás. Az égő széngömb-hipotézis szerint a Nap rendelkezésre álló teljes energiája 6^.10³⁷J lenne. Ez a feltételezett intenzitás (kb. 4,0^.10²⁶ W) mellett 1,5^.10¹¹ s-ra, vagyis kb. 4800 évre elegendő. Ez a meglepő szám szerepel Madách drámájában, Az ember tragédiája tizenharmadik színében:

,,S feledted-é már a tudós szavát,
Ki felszámolta, hogy négyezredévre
Világod megfagy, - a küzdés eláll?''

P. 3519. Az ábra szerinti összeállításban az alsó henger dugattyúja kezdetben 10 cm magasan áll, alatta 20 ^oC-os nitrogén, felette higany, amely kitölti a gumicsövet, és a felső edényben van a szabad felszíne, 2 méterrel a dugattyú felett. A henger alapterülete 100 cm², a dugattyú súlytalan, és a nitrogén 30 cm magasságig tágulhat. A külső légnyomás 10⁵ Pa.

A nitrogént melegítjük, és miközben a dugattyú emelkedik, a felső edényt folyamatosan süllyesztjük oly módon, hogy amíg a dugattyú 1 mm-t emelkedik, azalatt a higany felső szintje 9 mm-rel kerüljön lejjebb. Ezt addig folytatjuk, amíg a nitrogén hőt vesz fel.

Mennyi a felvett hő? Mekkora a nitrogén legnagyobb hőmérséklete? (6 pont)

Közli: Légrádi Imre, Sopron

Megoldás. Q=568 J, T_max=374 K.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?