![]() |
A 2002. májusi számban kitűzött fizika elméleti feladatok megoldása |
A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.
P. 3531. Néhány kiránduló a Tiszán csónakot bérelt 3 órára. A folyó sebessége 2,5 km/h, a csónaké a vízhez képest 7,5 km/h. Mennyire távolodhatnak el a kikötőtől, ha 3 óra alatt vissza akarnak érni? (3 pont)
Szolnok megyei általános iskolai verseny
Megoldás. Ha a folyó sebessége u, ehhez képest pedig a csónak v-vel képes haladni, a legnagyobb távolság, amire eltávolodhat, hogy még t időn belül visszaérjen
s=tv2−u22v=10 km.
P. 3532. Az ábrán látható nyújthatatlan fonál felső végét a mennyezethez rögzítjük, az alsó végére pedig egy m tömegű testet kötünk. A test alsó részéhez egy rugót erősítünk, amelyen 2m tömegű test lóg. A rendszer egyensúlyban van. A rugó megnyúlása 30 cm. Égessük el a fonalat!
a) Mekkora az egyes testek gyorsulása közvetlenül a fonál elégetése után?
b) Mennyi idő múlva lesz a rugó először nyújtatlan állapotban, és mekkora a testek sebessége ebben a pillanatban? (5 pont)
Közli: Szűcs József, Pécs
(Párkányi László fizikaverseny)
Megoldás. a) Kezdetben a rugót F=2mg erő feszíti, ezért a fonal elégetésének pillanatában a felső testre 3mg erő hat, az alsó testre ható erők eredője pedig 0. Ennek megfelelően a1(0)=3g, a2(0)=0.
b) Az egyes testek mozgásegyenletei
ma1=mg+kx, 2ma2=2mg-kx ,
ahol x a rugó megnyúlása. Ezekből az x mennyiség a=a2-a1 gyorsulására a következőt kapjuk:
a=−3k2mx.
Ez a rezgőmozgás ismert egyenlete, melynek megoldása
x(t)=Acos ωt (ω=√3k2m).
Mivel az A amplitúdó azonos a 30 cm-es kezdeti megnyúlással, k=2mg/A, így ω=√3g/A=10 s−1. A rugó az indítás után először T/4=π/(2ω)=0,16 s idő múlva lesz nyújtatlan állapotban.
P. 3533. Egy 10 000 m2-es sík területre időben egyenletesen, a hely szempontjából pedig egyenletes rendezetlenségben 41 másodpercig esik a jég. Az egyforma, gömböknek tekinthető jégdarabok olyan talajra hullanak, amelybe csupán kissé nyomódnak bele, ugyanakkor csak azok mozdulnak tovább beérkezési helyükről, amelyek a társaikra estek. Az utolsó másodpercben lehullott 20 000 jégdarab közül 200 esett az első 40 másodpercben lehullott valamelyik társára. a) A terület hány százalékát borítja jég? b) Mekkora egy jéggömb főkörének területe? (5 pont)
Közli: Édes Zoltán, Tata
Megoldás. Legyen a teljes terület A (A=10 000 m2), egy jégdarab főkörének a területe pedig a. Az első 40 s alatt 40-szer annyi jég esik, mint az utolsóban, azaz a 40. másodperc végén a lefedett terület 800 000 a. Ez úgy aránylik a teljes területhez, mint a 200 a 20 000-hez (elhanyagoljuk annak a leletőségét, hogy az utolsó másodperc alatt leesett jég eshet ugyancsak az utolsó másodperc alatt leesett jégre, ez kisebb mint 1/40-ed relatív hibát okozhat). Eszerint A=8.107a, azaz a=1,25 cm2. A teljes lefedett terület a jégeső után 820 000 a, ez az A-nak 1,025%-a.
P. 3534. 20 cm vastag, 0 oC hőmérsékletű, 0,25 kg/dm3 sűrűségű hótakaróból milyen vastag réteg olvad meg a napsugárzás hatására 5 órányi, a hóréteggel átlagosan 25o-os szöget bezáró napsütés esetén? A Napból a légkör felső határán minden 1 m2 nagyságú, a sugárzásra merőleges felületre érkező sugárzási teljesítmény átlagosan 1350 W. Ennek 50%-a elnyelődik a légkörben, és a hó a leérkező energia 90%-át visszaveri. (4 pont)
Közli: Holics László, Budapest
Megoldás. A hóréteg egy négyzetmétere 513,4 kJ energiát nyel el öt óra alatt, ez 1,54 kg jég felolvasztására elég, ennyi jég pedig egy négyzetméteren 6,2 mm-es réteg hóban van.
P. 3535. Az ábrán látható, egyik végén beforrasztott, A keresztmetszetű, derékszögben kétszer meghajlított cső függőleges síkban helyezkedik el. A cső függőleges részében lévő, kezdetben L=38 cm hosszúságú és T0 hőmérsékletű levegőoszlopot 2L hosszúságú higanyoszlop zárja el. A cső vízszintes részének hosszúsága L. A külső p0 légnyomás 2L magasságú higanyoszlop hidrosztatikai nyomásával egyenlő. Jelöljük L.A-t V0-lal!
a) Adjuk meg p0V0 egységekben, hogy mekkora munkát végez a táguló levegő azon folyamat során, mialatt a higany éppen átfolyik a felső függőleges csőbe.
b) A levegővel közölt hő hány százaléka növelte a belső energiát?
c) Ábrázoljuk a levegő hőmérsékletét a térfogat függvényében! (5 pont)
Közli: Kotek László, Pécs
(Mikola-verseny, Sopron)
Megoldás. a) Kezdetben a bezárt levegő nyomása 2p0. Ez, miközben a levegő V0-ról 2V0-ra tágul, a térfogattal lineárisan változva 3p0/2-re csökken. A 2V0→3V0 tágulás során a nyomás nem változik, majd az utolsó 3V0→4V0 szakaszon a térfogattal lineárisan változva visszanő az eredeti 2p0 értékre. A táguló levegő munkáját a p(V) görbe alatti terület adja, ez 5p0V0.
b) A folyamat során a levegő hőmérséklete a gáztörvény szerint T0-ról 4T0-ra nő, tehát a belső energiája (5/2)nR3T0 értékkel nő. Kihasználva, hogy nRT0=2p0V0, ez 15p0V0, ami a teljes 20p0V0 hőfelvétel 75%-a.
c) Mérjük a térfogatot V0, a nyomást 2p0 és a hőmérsékletet T0 egységekben, és legyenek rendre v=V/V0, x=p/(2p0) és τ=T/T0! Ekkor
τ=xv, ahol x={1−(v−1)/4=(5−v)/4, ha 1≤v≤2;3/4, ha 2≤v≤3;3/4+(v−3)/4=v/4, ha 3≤v≤4.
Ennek megfelelően a hőmérséklet a térfogat függvényében egy olyan görbe, amely egy lefelé nyitott parabolából, egy egyenes szakaszból és egy felfelé nyitott parabolából rakható össze.
P. 3536. 5 keV energiájú, kicsit széttartó elektronnyaláb érkezik homogén mágneses mezőbe. A részecskék sebessége B irányával kicsiny szöget zár be. Mekkora legyen a mágneses indukció értéke, hogy az elektronok 10 cm távolságonként újra és újra egy pontban találkozzanak? (5 pont)
Tornyai Sándor verseny, Hódmezővásárhely
Megoldás.
B=2πd√2mUe=15 mT.
P. 3537. A Compton-szórás (rugalmas foton-elektron ütközés) során a meglökött - kezdetben nyugvónak tekintett - elektron lendülete nagyobb lett, mint a beeső f frekvenciájú fotoné volt. Legalább mekkora szögben szóródott a foton? (5 pont)
Közli: Varga István, Békéscsaba
Megoldás. Vizsgáljuk a határesetet, amikor a meglökött elektron impulzusa éppen akkora, mint a bejövő fotoné volt, azaz
mv=hf/c,
és engedjük meg, hogy v akár relativisztikus sebesség is lehessen, azaz számoljunk az
m=m0√1−v2/c2
relativisztikus tömegképlettel! Ha a szóródó foton frekvenciája f′, az energiamegmaradás miatt
hf′=hf−(mc2−m0c2).
A relativisztikus tömegre igaz, hogy
(mc2)2-(mv)2c2=(m0c2)2.
Ez a fenti összefüggéssel együtt
mc2=√m20c4+h2f2,
azaz
hf′=hf−(√m20c4+h2f2−m0c2).
Jelölje ϑ a foton impulzus eredeti és szórás utáni irányának a szögét! Az impulzusmegmaradás miatt a bejövő foton lendülete, a szóródó foton lendülete, valamint a meglökött elektron lendülete háromszöget alkot. Ez a háromszög a vizsgált határesetben éppen egyenlő szárú, és a keresett ϑ szög az alapon fekvő egyik szög. Ebből
cosϑ=f′2f=12(1+K−√K2+1),
ahol K=m0c2/(hf). Mivel az
f(x)=1+x−√x2+1
függvény minden minden x-re 1-nél kisebb, cos ϑ<1/2, azaz ϑ>60o.
A ϑ=60o-os határt K≫1, vagyis hf≪m0c2 határesetben közelíthetjük meg, vagyis akkor, amikor a bejövő foton energiája lényegesen kisebb, mint az elektron nyugalmi energiája. Mivel ez a nemrelativisztikus tartomány, a foton szórási szögének legkisebb értékére akkor is megkaptuk volna a helyes 60o-os határt, ha mindvégig a klasszikus (newtoni) fizika képleteivel számolunk.
P. 3538. Egy elektron mozgási energiája n-ed része, lendülete n-szerese valamely foton energiájának, illetve lendületének. Mekkora n értékek esetén láthatók az ilyen fotonok? (4 pont)
A Budó-verseny egyik feladata nyomán
Megoldás. Tételezzük fel, hogy az elektron sebessége sokkal kisebb, mint a fénysebesség. Az mv2/2=hf/n, mv=nhλ valamint a λ=c/f összefüggésekből
n3=2mcλh.
Ha a fény látható, akkor 380 nm<λ<760 nm, ebből 68≤n≤86.
Az elektron sebességének és a fénysebességnek az aránya
vc=2n2≪1,
tehát valóban jogos volt a nemrelativisztikus energiaképlet használata.
P. 3539. Kinyújtott kezünkben tartunk egy f=12 cm fókusztávolságú gyűjtőlencsét, melyen át egy 60 méterre lévő, 24 méter magas tornyot figyelünk. Becsült adatok felhasználásával határozzuk meg a szemünk retináján létrejövő kép nagyságát! Hányszor nagyobbnak vagy kisebbnek látjuk a tornyot a lencsén keresztül, mint szabad szemmel? Hány dioptriás a szemünk az egyik, illetve a másik esetben? (5 pont)
Közli: Honyek Gyula, Budapest
Megoldás. Karunk hossza kb. 60 cm, szemünk átmérője kb. 2,4 cm. Ha a lencsén keresztül nézzük a tornyot, valójában a szemünktől 60 cm-12 cm=48 cm-re keletkezett 4,8 cm-es (fordított állású) képet nézzük, tehát a tárgytávolság 48 cm, a tárgy nagysága 4,8 cm, a képtávolság pedig a szemünk mérete, azaz 2,4 cm. Ezekből a retinán létrejövő kép nagysága 0,24 cm, szemünk fókusztávolságának a reciproka pedig 43,7 m-1.
A tornyot szabad szemmel nézve a tárgytávolság 60 m, a tárgy nagysága 24 m, a képtávolság pedig ugyanannyi, mint az előző esetben. Ekkor a torony képe a retinán 9,6 mm, és ilyenkor a szemünk dioptriája 41,7 m-1.
P. 3540. A napkitöréseket figyelő SOHO műhold mindig a Napot és a Földet összekötő egyenesen helyezkedik el. Milyen messze van a SOHO a Földtől? (A Föld pályáját tekintsük körnek!) (6 pont)
Közli: Korpássy Péter, Budapest
Megoldás. A SOHO távolsága a Föld középpontjától kb. 1,5.106 km.