A 2002. októberi informatika feladatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

I. 31. Az ókori Egyiptomban a 0 és 1 közötti racionális számokat egységtörtek összegeként \(\displaystyle \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\ldots+\frac{1}{x_k}\)alakban adták meg, ahol az x_i-k különböző pozitív egész számok.

Például

\(\displaystyle \frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15},\quad\frac{9}{11}=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{15}+\frac{1}{660},\quad\frac{19}{30}=\frac{1}{2}+\frac{1}{8}+\frac{1}{120}. \)

Készítsünk programot (I31.pas, ...), amely adott M (1 \(\displaystyle \le\)M<N) és N (2 \(\displaystyle \le\)N \(\displaystyle \le\)30) természetes számokra megadja M/N egységtörtekre bontását!

(10 pont)

Megoldás:
Rekurzív megoldást adunk.

Eljárás Reciprok;
  változók n,m: Egész;
  Be: N [1<N<=30];
  Be: M [1<=M<N];
  Ki: 'M/N=';
  REC(M,N);
Eljárás vége;

Eljárás REC(m,n: Egész);
  változók p,q,r: Egész;

  q:=n div m;
  Ha n mod m>0
    akkor inc(q);
  elágazás vége;

  Ki: '1/',Q;

  Ha m*q-n>0
    akkor r:=lnko(q,n);
	      q:=q div r;
          p:=lnko(q*m-n div r,q*n);
          Ki: '+';
		  REC((m*q-n div r) div p,q*n div p);
  elágazás vége;
Eljárás vége;

Függvény lnko(m,n: Egész): Egész;
  Ha m=0
    akkor lnko:=n;
	különben lnko:=lnko(n mod m,m);
  elágazás vége;
függvény vége;

I. 32. Kettőspoligont úgy kapunk, hogy két szabályos sokszöget ,,összefésülünk'', azaz az oldalaikat felváltva rajzoljuk le. (Az alábbi ábrán egy négyzetet és egy háromszöget fésültünk össze úgy, hogy mindkettőből 3 oldalt rajzoltunk meg. Ha 4 oldalt rajzolnánk, akkor a V₂ vektorhoz az U₃ vektort kellene illesztenünk, ahhoz pedig ismét a V₀ vektort.)

A multipoligon ugyanígy készül, csak nem kettő, hanem több szabályos sokszögből.

Készítsünk programot (I32.pas, ...), amely beolvassa az összefésülendő sokszögek számát (1 \(\displaystyle \le\)DB \(\displaystyle \le\)100) és a mindegyikükből rajzolandó oldalak számát (1 \(\displaystyle \le\)N \(\displaystyle \le\)360), az egyes sokszögek oldalhosszát (1 \(\displaystyle \le\)H(i) \(\displaystyle \le\)100) és külső szögét (-120 \(\displaystyle \le\)S(i) \(\displaystyle \le\)120), majd kirajzolja a belőlük összeállított multipoligont!

Példa:

DB=2, N=3 H=50, SZ=90 H=50, SZ=120	DB=2, N=40 H=50, SZ=90 H=50, SZ=-40	DB=2, N=360 H=0.5, SZ=1 H=1, SZ=-1	DB=4, N=360 H=1, SZ=1 H=1, SZ=-8 H=1, SZ=16 H=1, SZ=-2

(10 pont)

Megoldás:

Eljárás multigon;
  változók
    i,j,n,db:Egész;
    sz:Tömb(1..100:Egész);
    h,s:Tömb(1..100:Valós);
    x,y,alfa:Valós;

   Be: N, DB;
   Ciklus i:=1-től db-ig
     Be: h[i],sz[i];
     s[i]:=3.14159*sz[i]/180;
   ciklus vége;

   GrafikusKépernyőInicializálása;
   x:=KépernyőMéretX div 2;
   y:=KépernyőMéretY div 2;
   PozícióraUgrás(kerekítés(x),kerekítés(y));

   Ciklus i:=1-től n-ig
     ciklus j:=1-től db-ig
       alfa:=i*s[j];
	   x:=x+sin(alfa)*h[j];
	   y:=y+cos(alfa)*h[j];
       SzakaszRajzolás(kerekítés(x),kerekítés(y));
     ciklus vége;
   ciklus vége;

  GrafikusKépernyőLezárása;
eljárás vége.

I. 33. Jóska és Pista számjátékot játszanak. Első lépésként felsorolnak N (1 \(\displaystyle \le\)N \(\displaystyle \le\)100) természetes számot, majd eldöntik, hogy mindegyikük M (1 \(\displaystyle \le\)M \(\displaystyle \le\)N) számot fog választani közülük. Szabályosan választanak, Jóska minden A-adik számot (1 A N), Pista pedig minden B-ediket (1 B N). Ha a sorozat végére érnek, elölről folytatják, azaz pl. az N+1. szám a felsorolás első tagja lesz, az N+2. a második és így tovább. Az győz, aki a kiválasztott számait összeadva nagyobb számot kap.

Készítsünk táblázatot (I33.xls), amelyben N, M, A, B megadása esetén megtudjuk, hogy ki győzött. A győztes betűjele (A vagy B) a táblázatban piros, a vesztesé pedig kék színű legyen! Döntetlen játék esetén mindkettőt feketével kell írni.

Példa:

(10 pont)

Megoldás:
Három lépésben oldjuk meg a feladatot.
Először az első sorban levő sorozatból képezzük másik két sorozatot a harmadik illetve a negyedik sorba az allábi képlet segítségével.

D3:=IF(COLUMN()<=$B$2+2;INDEX($C$1:$IV$1;1;MOD((COLUMN()-2)*$B3;$B$1)+1);"")

D3:=HA(OSZLOP()<=$B$2+2;INDEX($C$1:$IV$1;1;MARADÉK((OSZLOP()-2)*$B3;$B$1)+1);"")

M3:=SUM(C3:L3)