![]() |
A 2003. januári C-jelű matematika gyakorlatok megoldása |
A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.
C.700. Papírból kivágunk egy négyszög alakú lapot, ráírjuk üdvözlő sorainkat, majd sarkainál behajtjuk úgy, hogy a csúcsok egy közös pontba kerüljenek. Milyen négyszöget vágjunk ki, hogy a behajtott részek hézagmentesen és egymás átfedése nélkül takarják a négyszög többi részét?
Megoldás. Ha a szaggatott vonalak mentén behajtott részek hézagmentesen és átfedés nélkül fedik a négyszög belsejét, akkor a keletkező négyszög téglalap, hiszen bármelyik szögének kétszerese 180o.
Most induljunk ki abból, hogy sikerült a fenti módon a behajtogatás, és így a belső négyszög téglalap. Vegyünk föl egy tetszőleges P pontot a belsejében, legyen ez az a pont, ahová a csúcsok a behajtás után kerültek.
P-t tükrözve a téglalap oldalaira megkapjuk az eredeti négyszöget. Ennek oldalfelezőpontjai összekötésével keletkezik a téglalap, így annak oldalai az átlók és az eredeti négyszög oldalai által meghatározott 2-2 háromszög középvonalai, és így az átlókkal párhuzamosak. Tehát az eredeti négyszög átlói egymásra merőlegesek. Könnyen látható, hogy ekkor a csúcsokat az oldalfelező pontokig behajtva a keletkező részek (lásd kék segédvonalak) hézagmentesen és átfedés nélkül takarják a négyszög belsejét.
C.701. Mutassuk meg, hogy 1.2 .....1001+ 1002 .1003.....2002 osztható 2003-mal.
Megoldás. Egy szám 2003-mal való osztási maradéka változatlan marad, ha a számból kivonunk 2003-at. Így az összeg 2003-mal való oszthatósági maradékán nem változtat, ha a második tagjában szereplő minden tényezőből kivonunk 2003-at. Az így kapott összeg
1.2.....1001+(-1001).(-1000).....(-1)=1.2.....1001-1001.1000.....1=0,
ami osztható 2003-mal, így az eredeti összeg is.
C.702. Egy derékszögű háromszög hegyesszögei 60o és 30o. A háromszögbe két egyenlő sugarú kört írunk, amelyek érintik az átfogót, egymást és egy-egy befogót. Hányszorosa a kisebbik befogó a körök sugarának?
Megoldás.
A piros háromszög hasonló az eredetihez, így átfogója a rövidebb befogó kétszerese, hosszabb befogója pedig √3-szorosa.
Berajzolva azt a (zöld) háromszöget, aminek átfogója a két kör középpontját összekötő szakasz és oldalai párhuzamosak az eredeti háromszög megfelelő oldalaival, a piros háromszöggel egybevágó háromszöget kapunk. Befogói így √3r ill. r, és így 3. csúcsa rajta van az ,,alsó'' körön. Tehát az eredeti háromszög rövidebb befogójának hossza r+r+√3r=(2+√3)r, ami r-nek (2+√3)-szorosa.
C.703. A p valós paraméter értékétől függően hány gyöke van a
2x2-10px+7p-1=0
egyenletnek a (-1;1) intervallumban?
Megoldás. Az egyenlet diszkriminánsa, D=100p2-4.2(7p-1)=(10p-2,8)2+0,16>0, tehát az egyenletnek mindig van két valós gyöke.
Legyen f(x)=2x2-10px+7p-1. Ez egy felfelé nyíló parabolának az egyenlete. Így, ha f(-1)<0 és f(1)<0, akkor az egyenlet mindkét gyöke az I=(-1;1) intervallumon kívülre esik. Ha f(-1)f(1)<0, akkor egy gyök esik az I intervallumba. Végül, ha f(-1) és f(1) is pozitív, akkor vagy egyik gyök sem esik az I intervallumba (ez akkor van így, ha a nagyobb gyök legfeljebb -1, vagy ha a kisebb gyök legalább 1); vagy mindkét gyök -1 és 1 közé esik. f(-1)=1+17p; f(1)=1-3p.
pin(-infty;-1/17) és pin(1/3;infty) esetén egy gyök esik az I intervallumba.
\displaystyle {10p-\sqrt{100p^2-8(7p-1)}\over41"> csak p>0,4 esetén teljesülhet;
10p+√100p2−8(7p−1)4<−1 csak p<-0,4 esetén teljesülhet, így pin(-1/17;1/3) esetén mindkét gyök az I intervallumban van.
p=-1/17 esetén a másik gyök 1217∈I, p=1/3 esetén pedig 2/3inI, így ekkor is egy gyök esik az I intervallumba.
C.704. Mely n természetes számokra igaz, hogy
log23 .log34 .log45 .....logn(n+1)=10?
Megoldás. Felhasználva a logaritmus azon tulajdonságát, hogy ha logabne0, akkor logba=1logab, kapjuk, hogy log23⋅log34=log34log32=log24, log23⋅log34⋅log45=log24⋅log45=log45log42=log25.
Ezt tovább folytatva kapjuk, hogy log23⋅log34⋅log45⋅⋯⋅logn(n+1)=log2n⋅logn(n+1)=logn(n+1)logn2=log2(n+1).
Tahát az egyenlet ekvivalens átalakításokkal log2(n+1)=10 alakra hozható, ahonnan 210=n+1, és így n=210-1=1023.