A 2003. februári C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

C.705. Egy könyv oldalszámozása az ötödik oldalon kezdődik. Ezen az oldalon az 5-ös szám szerepel. A könyvben még két olyan oldal található, amelyre az első négy oldalhoz hasonlóan nem nyomtatták rá az oldalszámot. A könyvben lévő oldalszámok összege 23 862. Hány oldalas a könyv?

Megoldás: Ha n oldalú a könyv, és az a. ill. a b. oldal nincs megszámozva, akkor

\(\displaystyle 23862={n(n+1)\over2}-(1+2+3+4)-(a+b).\)

A legkisebb olyan n, amelyre a jobboldal nagyobb lehet, mint a baloldal, a 218 (\(\displaystyle \sqrt{2\cdot23862}\approx218,46\)). Ekkor azonban a+b=-1 lenne, ami lehetetlen. Egy lapnak két oldala van, tehát n csak páros lehet. n=222 esetén a+b>222. Tehát a könyv 220 oldalas.

C.706. Mely a és b természetes számokra teljesülnek a 90<a+b<100 és a \(\displaystyle 0{,}9<\frac{a}{b}<0{,}91\) feltételek?

Megoldás: 0,9<a/b<0,91, azaz 90b<100a<91b. A baloldalból 0<100a-90b, ugyanakkor az első egyenlőtlenség baloldalából 0<90a+90b-8100. A kettőt összeadva 0<190a-8100, tehát 43\(\displaystyle le\)a.

A jobboldalból 100a-91b<0, ill. 91a+91b-9100<0, és így 191a<9100, tehát a\(\displaystyle le\)47. Vagyis 43\(\displaystyle le\)a\(\displaystyle le\)47. A második egyenlőtlenségből \(\displaystyle {a\over0,91}a=43, akkor ebből (figyelembe véve, hogy b egész 48\(\displaystyle le\)b\(\displaystyle le\)47 következik, ami lehetetlen. Ha a=44, akkor 49\(\displaystyle le\)b\(\displaystyle le\)48, ez sem lehetséges. Ha a=45, akkor 50\(\displaystyle le\)b<50, ilyen b sincs. Ha a=46, akkor 51\(\displaystyle le\)b\(\displaystyle le\)51. Végül, ha a=47, akkor 542\(\displaystyle le\)b\(\displaystyle le\)52. Tehát a megoldások: a₁=46, b₁=51; a₂=47, b₂=52.

C.707. Egy háromszög két oldalával párhuzamosan rajzoljuk meg azokat az egyeneseket, amelyek felezik a háromszög területét. Milyen arányban osztja a háromszög területét a metszéspontjukon keresztül a háromszög harmadik oldalával párhuzamosan húzott egyenes?

Megoldás:

Legyen az ABC háromszög AC oldalával húzott párhuzamos C₁A₂, a BC oldallal húzott párhuzamos pedig C₂B₁, a kettő metszéspontja O, valamint legyen a harmadikként behúzott párhuzamos B₂A₁. Mivel C₁A₂B területe fele ABC területének, azért \(\displaystyle {C_1B\over AB}={1\over\sqrt2}\), ebből \(\displaystyle C_1B={1\over\sqrt2}AB\). Ugyanígy \(\displaystyle {AC_2\over AB}={1\over\sqrt2}\), és így \(\displaystyle AC_2={1\over\sqrt2}AB\).

Mivel \(\displaystyle AC\parallel C_1A_2\) és \(\displaystyle B_2A_1\parallel AB\), azért B₂O=AC₁. Hasonló okok miatt OA₁=C₂B. Így \(\displaystyle B_2A_1=AC_1+C_2B=(AB-C_1B)+(AB-AC_2)=(AB-{1\over\sqrt2}AB)+(AB-{1\over\sqrt2}AB)=(2-\sqrt2)AB\).

Tehát \(\displaystyle {T_{B_2A_1C}\over T_{ABC}}=(2-\sqrt2)^2\approx0,343\).

C.708. Egy egyenlő szárú háromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\). Mekkorák ezek a szögek, ha sin²\(\displaystyle \alpha\)+sin²\(\displaystyle \beta\)=sin \(\displaystyle \gamma\)?

Megoldás: Első lehetőség: \(\displaystyle alpha\)=\(\displaystyle beta\). Ekkor \(\displaystyle gamma\)=180^o-2\(\displaystyle alpha\), ahonnan sin\(\displaystyle gamma\)=sin(180^o-2\(\displaystyle alpha\))=sin2\(\displaystyle alpha\)=2sin\(\displaystyle alpha\)cos\(\displaystyle alpha\), tehát 2sin²\(\displaystyle alpha\)=2sin\(\displaystyle alpha\)cos\(\displaystyle alpha\). Mivel sin\(\displaystyle alpha\)=0 nem megoldás, ezért sin\(\displaystyle alpha\)=cos\(\displaystyle alpha\), és így \(\displaystyle alpha\)=\(\displaystyle beta\)=45^o, \(\displaystyle gamma\)=90^o.

Második lehetőség: \(\displaystyle beta\)=\(\displaystyle gamma\). Ekkor \(\displaystyle alpha\)=180^o-2\(\displaystyle beta\). Ebből sin(180^o-2\(\displaystyle beta\))=sin2\(\displaystyle beta\)=2sin\(\displaystyle beta\)cos\(\displaystyle beta\). Ezt beírva az egyenletbe 4sin²\(\displaystyle beta\)cos²\(\displaystyle beta\)+sin²\(\displaystyle beta\)=sin\(\displaystyle beta\). Mivel sin\(\displaystyle beta\)=0 nem megoldás, azért 4sin\(\displaystyle beta\)(1-sin²\(\displaystyle beta\))+sin\(\displaystyle beta\)=1, amiből -4sin³\(\displaystyle beta\)+5sin\(\displaystyle beta\)-1=(sin\(\displaystyle beta\)-1)(-4sin²\(\displaystyle beta\)-4sin\(\displaystyle beta\)+1)=0. Ha sin\(\displaystyle beta\)=1, akkor \(\displaystyle beta\)=90^o, ami nem lehet. Ha a második tényező 0, akkor \(\displaystyle \sin\beta={-1\pm\sqrt2\over2}\), ebből csak a \(\displaystyle {\sqrt2-1\over2}\) megfelelő érték, és ez valóban megoldás lesz.

Tehát \(\displaystyle alpha\)₁=\(\displaystyle beta\)₁=45^o, \(\displaystyle gamma\)₁=90^o; \(\displaystyle \alpha_2=180^{\circ}-2\arcsin{\sqrt2-1\over2}\approx156,094^{\circ}\), \(\displaystyle \beta_2=\gamma_2=\arcsin{\sqrt2-1\over2}\approx11,953^{\circ}\)

C.709. A jól gömbölyített dobókocka a kocka éleit érintő gömbnek a kockával alkotott közös része. Mekkora a felszíne egy ilyen dobókockának, ha két szemközti lapjának távolsága 2 cm?

Megoldás: A keresett felszín hat körből és a nyolc gömbölyített sarokból áll. A hat kör összterülete: T=6^.1²\(\displaystyle pi\)=6\(\displaystyle pi\).

A gömbölyített részek összfelszínét megkapjuk, ha a gömb felszínéből levonjuk a kockából ,,kilógó'' hat gömbsüveg felszínét.

Vágjuk félbe a gömbölyített dobókockát. Az így kapott keresztmetszet:

Jelölje A_g a gömb felszínét, A_gs pedig a gömbsüvegek felszínét. Így \(\displaystyle A=6\pi+(A_g-6A_{gs})=6\pi+4\pi(\sqrt2)^2-6\cdot2\pi\sqrt2(\sqrt2-1)=(12\sqrt2-10)\pi\approx21,899\) cm².