Matematikából kitűzött gyakorlatok és feladatok
2003. február

Kérjük, olvassa el a versenykiírást.

A C pontversenyben kitűzött gyakorlatok Minden C-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

C. 705. Egy könyv oldalszámozása az ötödik oldalon kezdődik. Ezen az oldalon az 5-ös szám szerepel. A könyvben még két olyan oldal található, amelyre az első négy oldalhoz hasonlóan nem nyomtatták rá az oldalszámot. A könyvben lévő oldalszámok összege 23 862. Hány oldalas a könyv?

C. 706. Mely a és b természetes számokra teljesülnek a 90<a+b<100 és a \(\displaystyle 0{,}9<\frac{a}{b}<0{,}91\) feltételek?

C. 707. Egy háromszög két oldalával párhuzamosan rajzoljuk meg azokat az egyeneseket, amelyek felezik a háromszög területét. Milyen arányban osztja a háromszög területét a metszéspontjukon keresztül a háromszög harmadik oldalával párhuzamosan húzott egyenes?

C. 708. Egy egyenlő szárú háromszög szögei \(\displaystyle \alpha\), \(\displaystyle \beta\), \(\displaystyle \gamma\). Mekkorák ezek a szögek, ha sin²\(\displaystyle \alpha\)+sin²\(\displaystyle \beta\)=sin \(\displaystyle \gamma\)?

C. 709. A jól gömbölyített dobókocka a kocka éleit érintő gömbnek a kockával alkotott közös része. Mekkora a felszíne egy ilyen dobókockának, ha két szemközti lapjának távolsága 2 cm?

A B pontversenyben kitűzött feladatok A B-jelű feladatokra kapható pontszám a feladatok nehézségétől függ. Minden hónapban a 6 legnagyobb pontszám számít be a pontversenybe.

B. 3612. Egy tízes számrendszerben felírt számból kiindulva készítsük el a szám jegyeinek permutációival nyerhető különböző számok összegét. Pl. a 110-ből kiindulva a 110+101+11=222 összeg adódik. Melyik a legkisebb szám, amelyből kiindulva a kapott összeg 4 933 284?

(4 pont)

Javasolta: Bakonyi Gábor, Budapest

B. 3613. Egy \(\displaystyle f\:R\to R\) függvényre bármely x, y számok esetén

|f(x)-f(y)|=|x-y|.

Mennyi lehet f(2) értéke, ha f(1)=3?

(3 pont)

B. 3614. A₁, A₂, ..., A_n a sík különböző pontjai. Színezzük pirosra az általuk meghatározott valamennyi szakasz felezőpontját. Mennyi a létrejövő piros pontok minimális száma?

(4 pont)

Javasolta: Némethy Katalin, Budapest

B. 3615. Egy egységnyi élű paralelepipedon alaplapja A₁A₂A₃A₄, fedőlapja B₁B₂B₃B₄ úgy, hogy az A_i és B_i csúcsokat él köti össze. Milyen határok között változik az A₁B₂²+A₂B₃²+A₃B₄²+A₄B₁² négyzetösszeg?

(3 pont)

B. 3616. A derékszögű koordinátarendszer (1;1) pontján átmenő e, valamint a (-1;1) pontján átmenő f egyenesekről tudjuk, hogy meredekségük különbsége 2. Határozzuk meg az e és f egyenesek metszéspontjának mértani helyét.

(3 pont)

B. 3617. A t paraméter milyen értékeire van az

x+y+z+v =0,   (xy+yz+zv)+t(xz+xv+yv) =0

egyenletrendszernek pontosan egy megoldása?

(5 pont)

B. 3618. Az ABCD rombusz AB oldalának B-n túli meghosszabbításán lévő E és F pontokból a rombusz beírt köréhez húzott érintők az AD egyenest az E' és F' pontokban metszik. Határozzuk meg a DE':DF' arányt, ha tudjuk, hogy BE:BF=\(\displaystyle \lambda\):\(\displaystyle \mu\).

(4 pont)

B. 3619. Tekintsünk három olyan síkot, amelyek egy egységnyi térfogatú tetraéder egy-egy lapjával párhuzamosak és felezik a tetraéder térfogatát. Mekkora annak a tetraédernek a térfogata, amelyet ez a három sík és a tetraéder negyedik lapja határol?

(4 pont)

B. 3620. Tegyük fel, hogy az

\(\displaystyle a_{n+1}=\frac{1}{1-a_n}-\frac{1}{1+a_n} \)

rekurzióval képzett sorozat periodikus. Mi lehet a sorozat első eleme?

(5 pont)

Javasolta: Zsíros Péter, Szombathely

B. 3621. Legyen f(x)=ax+1, ahol a\(\displaystyle \ne\)0 adott valós szám. Keressük meg azokat a g(x) polinomokat, amelyekre f(g(x))=g(f(x)).

(5 pont)

Az A pontversenyben kitűzött nehezebb feladatok Minden A-jelű feladat helyes megoldásáért 5 pont jár.

A. 311. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges x pozitív valós számra

\(\displaystyle [nx]\ge\frac{[x]}{1}+\frac{[2x]}{2}+\frac{[3x]}{3}+\dots+ \frac{[nx]}{n}. \)

Amerikai versenyfeladat

A. 312. Milyen n pozitív egészek esetén lehet az n csúcsú teljes gráfot háromszögekre bontani úgy, hogy minden élt pontosan egyszer használunk fel?

A. 313. Bizonyítsuk be, hogy a sík tetszőleges n különböző pontját ki lehet színezni legfeljebb 100^.ln n színnel úgy, hogy minden olyan kör, amely legalább egy pontot tartalmaz, valamelyik színű pontból pontosan egyet tartalmazzon.

A 2003. évi Schweitzer-verseny nyomán

A matematika gyakorlatok és feladatok megoldásai a következő címekre küldhetők:

KöMaL Szerkesztőség
Budapest 112, Pf. 32.  1518

megoldas@komal.hu (Az interneten keresztül történő beküldésről olvassa el tájékoztatónkat)

A beküldési határidő: 2003. március 15.