 |
A 2003. áprilisi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása |
A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.
C. 715. Útmérő szerkezetünk ,,lelke'' egy 1 méter kerületű kerék. Ezt az úton végiggördítve számláló mutatja, hogy a kerék hányszor fordult körbe, vagyis hány méter az út hossza. Mennyit mutat a számláló, ha - nem éppen rendeltetésszerűen használva - az útmérőt egy 100-fokú lépcsősoron toljuk fel? Minden lépcsőfok 20 cm magas és 30 cm hosszú. (A kerék csúszásmentesen gördül.)
Megoldás. \(\displaystyle r={100\over2\pi}\approx15,92\) cm, ami kisebb a lépcső magasságánál.Az út hossza, amihez a kerék hozzáér, miközben végiggördül: 100(20-r)+99(30-r). Ehhez még hozzá kell adni \(\displaystyle 100\cdot{100\over4}\)-et, mert mikor lépcsőfokot vált a kerék, akkor tesz egy negyed fordulatot. A kerék által megtett út hossza tehát \(\displaystyle 100(20-r)+99(30-r)+100\cdot{100\over4}\approx4302,8\) cm. Vagyis a számláló 43-at mutat.
C. 716. Adott a K, L és M pont, továbbá az ezekre nem illeszkedő e egyenes. Legyen N az e egyenes tetszőleges pontja. A KL felezőpontja P, az MN felezőpontja Q, a PQ felezőpontja R. Mi az R pontok mértani helye?
Megoldás.
A Q pontok az e-vel párhuzamos e' egyenesen helyezkednek el, e'-t az e-ből kapjuk az M középpontú, 1/2 arányú középpontos hasonlósági transzformációval.
Az R pontok pedig az e'-vel, és így e-vel is párhuzamos e'' egyenesen helyezkednek el, e''-t az e' egyenesből kapjuk a P középpontú, 1/2 arányú középpontos hasonlósági transzformációval.
C. 717. Egy tálcán összesen 58 szelet bejgli van, diós és mákos vegyesen. Három dióst ugyanannyiféleképpen lehet kiválasztani közülük, mint két mákost és egy dióst. Hány mákos bejgli van a tálcán?
Megoldás. Jelölje d a diós, m a mákos bejglik számát. A feltétel szerint m és d is pozitív. A következőnek kell teljesülnie:\(\displaystyle {d\choose3}={m\choose2}\cdot{d\choose1}={{58-d}\choose2}\cdot d.\)
Ebből d=134, ami nem lehet; vagy d=37, ami lehetséges. Ekkor a mákos bejglik száma 21.
C. 718. Oldjuk meg a (9-3x).3x-(x-2)(x2-5x+6)=0 egyenletet a valós számok halmazán.
Megoldás. Az egyenleten a következő ekvivalens átalakításokat végezhetjük el:3(3-x)3x-(x-2)(x-2)(x-3)=0
(3-x)3x+1+(x-2)2(3-x)=0
(3-x)[3x+1+(x-2)2]=0.
Mivel 3x+1>0 és (x-2)2\(\displaystyle \ge\)0, ezért a szorzat második tényezője pozitív. Tehát a szorzat csak akkor 0, ha az első tényezője 0, vagyis x=3 esetén.
C. 719. Oldjuk meg az
\(\displaystyle \frac{1}{\log_{\frac{1}{2}}x}+ \frac{1}{\log_{\frac{2}{3}}x}+\dots+ \frac{1}{\log_{\frac{9}{10}}x}=1 \)
egyenletet a valós számok halmazán.
Hajdú-Bihar megyei középiskolák matematika versenye 2002/2003
Megoldás. Tudjuk, hogy loga b és logb a egymás reciproka, és így az egyenlet a következő alakot ölti:\(\displaystyle \log_x{1\over2}+\log_x{2\over3}+\dots+\log_x{9\over10}=1,\)
vagyis
\(\displaystyle \log_x{1\over2}\cdot{2\over3}\dots\cdot{9\over10}=1,\)
\(\displaystyle \log_x{1\over10}=1,\)
x=0,1.