 |
A 2003. szeptemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása |
A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.
C. 725. Egy 3x3-as táblázat minden mezőjére elhelyeztünk egy 1 forintost írással fölfelé. Legalább hány érmét kell megfordítanunk ahhoz, hogy ne legyen egy egyenesen (sor, oszlop, átló) sem három írás, sem három fej?
Megoldás.Ahhoz, hogy biztos minden sorban legyen egy fej, minden sorban fel kell fordítanunk legalább egy érmét. Ha ezek mindegyike más-más oszlopban van, akkor csak az a kérdés, hogy a három elem közül lehet-e egy-egy más-más átlón. Ez azonban nem lehetséges (két ilyen, lényegében különböző elhelyezés lehetséges), ezért három érme felfordításával a feladat nem megoldható. Négy érme viszont már elegendő: legyen ez a négy érme (a sakktáblán is használt jelölés szerint) A1, A3, B2, C2.
C. 726. Van-e olyan szabályos sokszög, amelyben a legrövidebb átló hossza egyenlő a sokszög körülírt körének a sugarával?
Megoldás.Az átló két végpontjába futó sugár és az átló szabályos háromszöget határoznak meg. A két csúcs között (az őket összekötő rövidebbik körív felezőpontjában) található a sokszögnek még egy csúcsa. Eszerint a sokszög oldalaihoz tartozó középponti szög 30o , a sokszögnek 12 éle van.
C. 727. Péter telefonszáma körzetszám nélkül 312837, Pálé pedig 310650. Ha ugyanazzal a háromjegyű számmal osztjuk el ezeket a telefonszámokat, akkor egyenlő maradékokat kapunk. Ez a maradék városuk körzetszáma. Mennyi ez a maradék?
Megoldás.312837=k1.d+r, 310650=k2.d+r, d háromjegyű. k1d-k2d=2187=37. 3-nak 3-jegyű hatványai a 243 és a 729.312837=243.1287+96, 310650=243.1278+96, a maradékok (96) valóban egyenlőek.
312837=729.429+96, 310650=729.426+96. Ismét egyenlő maradékokat kaptunk, ezek pedig az előző maradékkal is egyenlők. A körzetszám 96.
C. 728. Az ABCD konvex négyszög A és B csúcsánál lévő szögei egyenlők, C-nél fekvő szöge derékszög. Az AD oldal merőleges a BD átlóra. A BC oldal hossza megegyezik a CD oldaléval. Hányszorosa ez a közös hossz az AD oldal hosszának?
Megoldás.A BCD háromszög a feladat szerint egyenlő szárú derékszögű háromszög, amelynek C-nél van derékszöge. B-nél 45o -os szöge van. A négyszög A-nál és B-nél lévő (egyenlő) szögét \(\displaystyle \alpha\)-val jelölve az ABD háromszögben B-nél 90o -\(\displaystyle \alpha\) található. Eszerint 90o -\(\displaystyle \alpha\)+45o =\(\displaystyle \alpha\), vagyis \(\displaystyle \alpha\)=67,5o . Ha a BC=CD oldal hosszát egységnek tekintjük, akkor a BCD háromszögben \(\displaystyle BD=\sqrt2\), az ABD háromszögben pedig \(\displaystyle \rm tg\,\alpha={\sqrt2\over AD}\), azaz \(\displaystyle {AD={\sqrt2\over\rm tg\,67,5^{\circ}}\approx0,5858}\). Az 1 az AD-nek kb. 1,7-szerese.(Elemi úton pontos értéket kapunk: \(\displaystyle AD=2-\sqrt2\), és így az arány \(\displaystyle {1\over2-\sqrt2}\).)
C. 729. Oldjuk meg a 2x lg x +x -1 = 0 egyenletet a valós számok halmazán.
Gyanó Éva (Budapest) javaslata nyomán
Megoldás.Negatív x-re és 0-ra a lg x nincs értelmezve, x>0 szükséges. x=1-ben lg x=0, x-1=0, tehát x=1 megoldás.1. lehetőség: A 2xlg x+x-1 függvény szigorúan monoton növekvő, tehát nincs több megoldás. (2x, lg x, x is szig. mon. növő.)
2. lehetőség: Vizsgáljuk meg, hogy mely x-ekre pozitív, illetve negatív 2xlg x+x-1. Ha x<1, akkor lg x<0, 2xlg x<0, x-1<0. Ha x>1, akkor lg x>0, 2xlg x>0, x-1>0.