A 2003. novemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

C. 735.Az egységnyi oldalú ABCD négyzet AB, BC, CD, DA oldalán fölvesszük az A₁, B₁, C₁, D₁ pontokat úgy, hogy \(\displaystyle AA_1=BB_1=CC_1=DD_1=\frac{1}{5}\). Mekkora az A₁B₁C₁D₁ négyszög területe?

Megoldás. Az A₁B₁C₁D₁ négyszög területe az egységnégyzet területénél az abból ,,leeső'' négy egybevágó derékszögű háromszög területösszegével kisebb, azaz \(\displaystyle 1-4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{17}{25}\). (Egyébként az A₁B₁C₁D₁ négyszög is négyzet, oldalának hossza Pitagorasz tétele szerint \(\displaystyle \sqrt{(\frac{4}{5})^2+(\frac{1}{5})^2}= \frac{\sqrt{17}}{5}\), ezért a területe \(\displaystyle (\frac{\sqrt{17}}{5})^2= \frac{17}{25}\).)

C. 736.Az internetről egy 1,5 MB-os fájlt töltünk le a számítógépünkre. A művelet során a program a letöltés addigi átlagos sebessége alapján folyamatosan megbecsüli a még hátralevő időt. A képernyőre pillantva azt látjuk, hogy a fájlnak pontosan a felét már letöltötte a program, s ekkor a műveletből hátralevő időt pontosan 2 percre becsüli. Ezután bármely t idő elteltével azt tapasztaljuk, hogy (a hálózat leterheltsége miatt) még mindig 2 percet ír ki a program a fájl letöltéséből hátralevő időként. Adjuk meg t függvényeként a fájl már letöltött részének méretét.

Javasolta: Koncz Levente, Budapest

Megoldás. Jelölje g(t) azt, hogy t idő alatt a fájl hányad részét sikerült letölteni. Ekkor - tetszőleges t-re - a még letöltésre váró \(\displaystyle \frac{1}{2}-g(t)\) rész és a már letöltött g(t) rész arányának t-szerese azt mutatja, hogy a letöltésből hátralevő idő még mindig 2 perc, azaz

\(\displaystyle \frac{\frac{1}{2}-g(t)}{g(t)}\cdot t=2, \)

így \(\displaystyle g(t)=\frac{t}{2t+4}\), tehát a t idő múlva már letöltött rész mérete a fájl teljes terjedelmének a \(\displaystyle g(t)+\frac{1}{2}=\frac{t+1}{t+2}\) része, azaz \(\displaystyle \frac{t+1}{t+2}\cdot1.5{\,\,\,MB}\).

C. 737.Egy cukorkát gyártó vállalatnál a legújabb terméket téglatest alakú dobozokba kívánják csomagolni, a 10 dobozból összeálló gyűjtőcsomagokat pedig vékony fóliával burkolni.

Az igazgató szerint előnyös lenne, ha a gyűjtőcsomag geometriailag hasonló volna a cukorkás dobozhoz. Megvalósítható-e az elképzelése?

Megoldás. Az elképzelés megvalósítható, pl. ha a cukorkás doboz oldalai a=1, \(\displaystyle b=\root_3\of{10}\), \(\displaystyle c=\root_3\of{100}\), akkor a legnagyobb b xc lap mentén 10-es oszlopba csomagolva a csomag b xc x10a-s méretei az eredetihez hasonló téglatestet jelentenek, hiszen \(\displaystyle \frac{b}{c}= \frac{\root_3\of{10}}{\root_3\of{100}}=\frac{1}{\root_3\of{10}}= \frac{a}{b}\) és \(\displaystyle \frac{c}{10a}=\frac{\root_3\of{100}}{10}= \frac{\root_3\of{10}}{\root_3\of{100}}=\frac{b}{c}\).

C. 738.Milyen nagy lehet egy háromszög területe, ha egyik oldalának a hossza sem nagyobb 2-nél?

Megoldás. A háromszög területe nem csökken, ha akkorára nagyítjuk, hogy a legnagyobb oldala 2 legyen. Jelölje az ehhez tartozó magasságot m, ami az oldalt x és 2-x hosszúságú szakaszokra vágja. Pitagorasz tétele szerint a másik két oldal \(\displaystyle \sqrt{m^2+x^2}\le2\) és \(\displaystyle \sqrt{m^2+(2-x)^2}\le2\).

A háromszög akkor megengedett, ha az x² \(\displaystyle \le\)4 - m² és az x² - 4x + m²\(\displaystyle \le\)0 egyenlőtlenségeknek van közös x megoldása. Külön-külön az egyenlőtlenségek megoldása: \(\displaystyle 0\le x\le\sqrt{4-m^2}\) és \(\displaystyle 2-\sqrt{4-m^2} \le x\le2+\sqrt{4-m^2}\). Közös megoldás pontosan akkor létezik, ha \(\displaystyle 2-\sqrt{4- m^2}\le\sqrt{4-m^2}\), azaz \(\displaystyle m\le\sqrt{3}\). Így a háromszög területe \(\displaystyle t=\frac{1}{2}\cdot2m=m\le\sqrt{3}\), és a maximumát akkor veszi fel, ha \(\displaystyle m=\sqrt{3}\), x=1, és ekkor a háromszög másik két oldalának hossza is 2 egység.

C. 739.Egy ,,csuklós'' deltoid oldalai 3 cm és 4 cm hosszúak, szögei változtathatók. Mekkora a konvex deltoid átlóinak hossza, ha a területe fele az elérhető legnagyobb értéknek?

Megoldás.

A deltoid területe t=3 ^.4 ^.sin \(\displaystyle \alpha\), ezért a terület legnagyobb értéke t_max = 12, ennek fele pedig 6. Ha 6= t = 12 ^.sin \(\displaystyle \alpha\), akkor \(\displaystyle \sin\alpha=\frac{1}{2}\), így \(\displaystyle \alpha\)= 30^o vagy 150^o, ezért \(\displaystyle \cos\alpha=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\). A koszinusz tétel szerint \(\displaystyle e^2=3^2+4^2-2\cdot3\cdot4\cos\alpha=25\pm12\sqrt{3}\).

Azonban ha az \(\displaystyle \alpha\)=30^o-hoz tartozó e értéket felhasználva kiszámítjuk cos \(\displaystyle \beta\)-t, azt kapjuk, hogy az negatív, így ebben az esetben a deltoid konkáv lenne.

Az \(\displaystyle \alpha\)=150^o-hoz tartozó esetben a deltoid biztosan konvex. Átlóinak hossza: \(\displaystyle e=\sqrt{25+12\sqrt{3}}\) és \(\displaystyle f=\frac{2t}{e}=\frac{12}{\sqrt{25+12\sqrt{3}}}\).