A 2004. márciusi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

C. 755.Hányféleképpen lehet 1000 Ft-ot felváltani kizárólag 1, 2 és 5 Ft-os érmék felhasználásával?

Megoldás. Az x + 2y + 5z = 1000 egyenlet nem negatív egész megoldásainak a számát keressük. Ha 1000 - 5z = p, akkor p = 0, 5, 10, ..., 1000 összesen 201-féle értéket vehet fel, és p mindegyik ilyen értéke mellett az x = p - 2y egyenletnek $\displaystyle 1+\left[\frac{p}{2}\right]$ megoldása van a természetes számok körében, hiszen y a $\displaystyle 0,1,2,\ldots,\Big[\frac{p}{2}\Big]$ értékeket veheti föl. Tehát a pénzváltások száma

$\displaystyle \sum_{p}{\Big(1+\Big[\frac{p}{2}\Big]\Big)}=\sum_{k=0}^{200} {\Big(1+\Big[\frac{5k}{2}\Big]\Big)}= 1+3+6+8+11+13+\ldots+496+498+501=50.401.$

C. 756.Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán:

$\displaystyle \frac{|1-x|}{1-|x|}<\frac{1+|x|}{|1+x|}.$

Megoldás. A kifejezések akkor értelmezettek, ha |x| $\displaystyle \ne$1. Ha |x| >1, akkor a bal oldal negatív, a jobb oldal pedig pozitív, ezért az egyenlőtlenség fennáll. Ha pedig |x| < 1, akkor mindkét nevező pozitív, ezért az eredetivel ekvivalens egyenlőtlenséget kapunk, ha mindkét oldalt megszorozzuk (1-|x|)|1+x|-vel: |1-x²| < 1 - |x|² = 1 - x², ami semmilyen x-re nem teljesül. A megoldás: |x| > 1.

C. 757.n³ darab egységkockából egy n élű nagy kockát állítottunk össze. Van-e olyan n érték, melyre a nagy kocka testátlói által metszett kis kockák száma éppen fele a testátlók által nem metszett kis kockák számának?

Megoldás. Ha a testátlók összesen m kiskockát metszenek, akkor $\displaystyle m={1\over2}(n^3-m)$, amiből 3m=n³. Ha n páros, akkor a négy testátló összesen 4n kiskockát metsz, vagyis 3^.4n=n³, aminek nincs egész megoldása. Ha n páratlan, akkor a négy testátló összesen 4n-3 kiskockát metsz, vagyis 3(4n-3)=n³, amiből n³-12n+9=(n-3)(n²+3n-3)=0. Ennek egyetlen egész megoldása van, n=3.

C. 758.Egy derékszögű háromszög befogóinak hossza 1 és $\displaystyle \sqrt2$. A háromszög legkisebb szöge $\displaystyle \alpha$. Mekkora a cos 8$\displaystyle \alpha$ pontos értéke?

Megoldás. Mivel $\displaystyle 1<\sqrt{2}<\sqrt{3}$, a legkisebb szög az egység hosszú oldallal szemben fekszik, így $\displaystyle \cos\alpha=\sqrt{2/3}$. Ezért $\displaystyle \cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1=2\cdot\frac{2}{3}-1=\frac{1}{3}$, $\displaystyle \cos4\alpha=2\cos^22\alpha-1=2\cdot\frac{1}{9}-1=-\frac{7}{9}$,  $\displaystyle \cos8\alpha=2\cdot\frac{49}{81}-1=\frac{17}{81}$.

C. 759.Az (x;y) koordinátasík minden P(x;y) pontjához hozzárendeljük a P'(x-y;-y) pontot. Melyek azok az egyenesek, amelyek ezen transzformáció során önmagukba mennek át?

Megoldás. Az ax + by + c = 0 egyenletű egyenes akkor megy önmagába, ha az előbbi egyenletből 0 = a(x-y) + b(-y) + c = ax -(a+b)y + c következik, vagyis ha (a,b,c$\displaystyle \ne$0 esetén) a:a = -(a+b):b = c: c. Tehát -(a+b) = b, azaz a = -2b. Ha c=0, akkor is ugyanez a megoldás, de csak az origón átmenő egyenest kapjuk meg. Ha a=0, akkor y=-c/b=0. Ha pedig b=0, akkor nincs megoldás.

A feladat követelményét tehát a -2x + y + c = 0 egyenletű (a 2 meredekségű) egyenesek, illetve az y=0 egyenletű egyenes teljesítik.