 |
A 2004. májusi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása |
A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.
C.765.Egy kihúzható kerek asztal átmérője 1 méter. Kihúzott állapotban az asztallap két félkör alakú része közé egy 1 m x0,5 m-es téglalap illeszkedik. Van-e ekkor az asztallapnak két, egymástól 150 cm-nél távolabb lévő pontja?
Megoldás:
Az O középpontú, \(\displaystyle {150\over2}\) sugarú kör tartalmazza az asztal lapját. Egy körben a legnagyobb távolság az átmérő, ez jelen esetben 150 cm. Így az asztallapon is legfeljebb ekkora a legnagyobb távolság, ez A és B esetében létre is jön.
C.766.A konyhában lévő falióra naponta 2 másodpercet késik, a szobában lévő antik óra naponta 15 másodpercet siet. Vasárnap délben a falióra 12 óra 1 percet, az antik óra 11 óra 59 percet mutat. Mikor lesz a hét folyamán az órák által mutatott és a valódi idő közötti különbségek négyzetösszege a legkisebb?
Megoldás: n nappal vasárnap dél után a valódi időtől való eltérés a falióra esetében 60-2n, az antik óra esetében pedig 15-60n. Tehát (60-2n)2+(15n-60)2 minimumhelyét keressük.
\(\displaystyle (60-2n)^2+(15n-60)^2=229n^2-2040n+7200=229\left(n^2-{2040\over229}n+{7200\over229}\right)=\)
\(\displaystyle =229\left[\left(n-{1020\over229}\right)^2-\left({1020\over229}\right)^2+{7200\over229}\right]\)
minimális, ha
\(\displaystyle n={1020\over229}=4{104\over229}\approx4{39238\over86400}=4{10\cdot3600+53\cdot60+58\over86400},\)
vagyis csütörtökön, körülbelül 22 óra 53 perc 58 másodperckor.
C.767.Határozzuk meg az összes olyan nem negatív a, b, c számot, amelyre: \(\displaystyle \sqrt{a-b+c}=\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}\).
Megoldás:
\(\displaystyle \sqrt{a-b+c}=\sqrt a-\sqrt b+\sqrt c\)
\(\displaystyle \sqrt{a-b+c}+\sqrt b=\sqrt a+\sqrt c\)
Ebből négyzetre emelés és rendezés után
\(\displaystyle \sqrt{ab-b^2+bc}=\sqrt{ac}\)
adódik. Ismét négyzetre emelve, majd rendezve
(a-b)(b-c)=0.
Ebből a=b\(\displaystyle \ge\)0, c\(\displaystyle \ge\)0 tetszőleges vagy b=c\(\displaystyle \ge\)0, a\(\displaystyle \ge\)0 tetszőleges; mindkét esetben az eredeti egyenletet is kielégítő megoldásokat kapunk.
C.768.Két egységnyi sugarú kör az A és B pontokban metszi egymást. Egyik közös érintőjük az E és F pontokban érinti a köröket. Mekkora lehet annak a körnek a sugara, amelyik áthalad az E, F és A pontokon?
Megoldás:
AF és AE felezőmerőlegese a K1 pontban metszi egymást az ábrán látható módon. A kapott négy háromszög egybevágó, vagyis K1A=O2F=1. Ha a B-hez közelebbi érintőt vesszük, akkor hasonló módon szintén r=1 adódik.
C.769.Egy 20 cm sugarú henger az e egyenes mentén érinti a sík talajt. Az e egyenesre merőlegesen egy 50 cm hosszú pálcát támasztunk a hengernek úgy, hogy a pálca talajon lévő végpontja 40 cm-re van az e egyenestől. Milyen magasan van a pálca másik végpontja?
Megoldás:
\(\displaystyle {m\over40}=\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot{20\over20\sqrt5}\cdot{40\over20\sqrt5}={4\over5}\)
m=32
Tehát a pálca másik végpontja \(\displaystyle 32\cdot{50\over40}=40\) cm magasan van.