Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js
Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A 2004. szeptemberi A-jelű matematika feladatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.


A. 350. Adjuk meg az összes pozitív p egészt, melyre a 4x2+p polinom a 0,1, ...,p-1 helyeken prím értéket vesz fel.

Megoldás. A p szám csak prím lehet, mert a feltétel szerint 4.02+p prím. A 10-nél kisebb prímek közül a 2 és az 5 nem felel meg, mert 4.12+2=6, illetve 4.12+5=9 összetett. Ha p=3, akkor a polinom értékei 3, 7, illetve 19 mind prím; ha pedig p=7, akkor a polinom értékei a 0,...,6 helyeken 7, 11, 23, 43, 71, 107, illetve 151, szintén prímek. A feltételeknek tehát a p=3 és a p=7 választás is eleget tesz.

Megmutatjuk, hogy a 10-nél nagyobb prímek nem megoldások. Minden p>10 prímszámhoz mutatunk egy olyan 0x<p számot, amire 4x2+p összetett.

Ha (p+1)-nek van 1-nél nagyobb páratlan osztója, akkor legyen az egyik ilyen osztó q. Mivel p+1 páros, qp+12. Legyen x=q12; erre a számra teljesül, hogy \(\displaystyle 0x2+p=q(q-2)+(p+1) szám osztható q-val, ugyanakkor q-nál nagyobb: 4x2+pp>q. Ebből következik, hogy 4x2+p összetett.

Ha (p+1)-nek nincs páratlan osztója, akkor 2-hatvány és osztható 16-tal. Tekintsük ekkor a p+9 számot. Ez 16-nál nagyobb és 16-tal osztva 8-at ad maradékul, nem lehet 2-hatvány. A p+9 számnak tehát van 1-nél nagyob páratlan osztója; legyen r az egyik ilyen osztó. A választásunk most legyen x=r32. Erre a számra \(\displaystyle 0\le x<\frac{(p+9)/2-3}2=\frac{p+3}4x2+p=(r-3)2+p=r(r-6)+(p+9) osztható r-rel, ugyanakkor 4x2+p\frac{p+9}2\ge r">.

Összefoglalva, a feladatnak két megoldása van: p=3 és p=7.


A. 351. Legyenek a1, a2, ...,an pozitív számok, melyek összege S, szorzata P, n3.

Bizonyítsuk be, hogy

ni=11Sai<n1SP.

I. Megoldás.

ni=11Sai=1n1ni=1n1Sai1n1ni=1(aiP)1n1=1P1n1ni=1a1n1in1

tagonként használtuk a számtani-mértani közepet illetve annak reciprokát. Elég megmutatni, hogy

ni=1a1n1in1S1n1

Ez pedig következik a hatványközepek közti egyenlőtlenségből, mivel 1n1<1 ezért

(ni=1a1n1in)n1ni=1ain=Sn

Tehát elég belátni, hogy \(\displaystyle n^{\frac{n-2}{n-1}}n=3-ra igaz, n4-re pedig abból következik, hogy \(\displaystyle (1+\frac{1}{n-1})^{n-2}

II. Megoldás Használjuk a következő egyenlőtlenséget. Legyen xi,yi,zi>0 ha 1in és α, β, γ olyan pozitív számok, melyek összege 1. Ekkor

xα1yβ1zγ1++xαnyβnzγn(ni=1xi)α(ni=1yi)β(ni=1zi)γ

Ennek bizonyítása úgy megy, hogy leosztunk a jobb oldallal, majd tagonként használunk egy súlyozott számtani-mértani egyenlőtlenséget (részleteket lásd Sklarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből Aritmetika és algebra című könyvének 304. feladatánál.)

Most legyen xi=Pai(Sai)n1, yi=aiP, zi=1, α=1n1, β=1n1, γ=n3n1. Ekkor xαiyβizγi=1/(Sai), továbbá ni=1yi=SP. Számtani-mértani egyenlőtlenség miatt xi1(n1)n1. Tehát alkalmazva a fenti egyenlőtlenséget kapjuk, hogy

ni=11Sai(ni=1xi)1n1(SP)1n1nn3n1(SP)1n1nn3n1(n1(n1)n1)1n1<n1SP

Az utolsó egynlőtlenséghez elég megmutatni, hogy \(\displaystyle n^{\frac{n-2}{n-1}}n=3-ra igaz, n4-re pedig abból következik, hogy \(\displaystyle (1+\frac{1}{n-1})^{n-2}


A. 352. Az ABC nem egyenlő szárú háromszög körülírt köre legyen k. Az ABC háromszög C-nél levő belső szögfelezője messe a k kör B-beli érintőjét K-ban, míg a C-nél levő külső szögfelező C-től különböző metszéspontja k-val L. Legyen az AC és LB egyenesek metszéspontja M. Mutassuk meg, hogy az MK egyenes átmegy az AB oldal felezőpontján.

Megoldás. Legyen F az AB oldal felezőpontja, T pedig a k kör és a CK szögfelező metszéspontja. A T és L pontok a C-ből induló szögfelezők és a kör metszéspontjai, azaz a két AB körív felezőpontjai. A TL szakasz tehát az AB oldal felező merőlegese, amely átmegy F-en.

Alkalmazzuk a Pascal-tételt a BBACTL hatszögre. A B-beli érintő és a vele szemközti CT oldal metszéspontja K, a szemközti BA és TL oldalak metszéspontja F, az AC és LB oldalak metszéspontja M. A Pascal-tétel szerint ezek egy egyenesen vannak. Az MK egyenes tehát átmegy F-en.


Fórum:

  • A KöMaL pontverseny

  • Lejárt határidej\x{0171} KÖMAL feladatokról