![]() |
A 2004. szeptemberi A-jelű matematika feladatok megoldása |
A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.
A. 350. Adjuk meg az összes pozitív p egészt, melyre a 4x2+p polinom a 0,1, ...,p-1 helyeken prím értéket vesz fel.
Megoldás. A p szám csak prím lehet, mert a feltétel szerint 4.02+p prím. A 10-nél kisebb prímek közül a 2 és az 5 nem felel meg, mert 4.12+2=6, illetve 4.12+5=9 összetett. Ha p=3, akkor a polinom értékei 3, 7, illetve 19 mind prím; ha pedig p=7, akkor a polinom értékei a 0,...,6 helyeken 7, 11, 23, 43, 71, 107, illetve 151, szintén prímek. A feltételeknek tehát a p=3 és a p=7 választás is eleget tesz.
Megmutatjuk, hogy a 10-nél nagyobb prímek nem megoldások. Minden p>10 prímszámhoz mutatunk egy olyan 0≤x<p számot, amire 4x2+p összetett.
Ha (p+1)-nek van 1-nél nagyobb páratlan osztója, akkor legyen az egyik ilyen osztó q. Mivel p+1 páros, q≤p+12. Legyen x=q−12; erre a számra teljesül, hogy \(\displaystyle 0
Ha (p+1)-nek nincs páratlan osztója, akkor 2-hatvány és osztható 16-tal. Tekintsük ekkor a p+9 számot. Ez 16-nál nagyobb és 16-tal osztva 8-at ad maradékul, nem lehet 2-hatvány. A p+9 számnak tehát van 1-nél nagyob páratlan osztója; legyen r az egyik ilyen osztó. A választásunk most legyen x=r−32. Erre a számra \(\displaystyle 0\le x<\frac{(p+9)/2-3}2=\frac{p+3}4
x2+p=(r-3)2+p=r(r-6)+(p+9) osztható r-rel, ugyanakkor 4x2+p≥\frac{p+9}2\ge r">.
Összefoglalva, a feladatnak két megoldása van: p=3 és p=7.
A. 351. Legyenek a1, a2, ...,an pozitív számok, melyek összege S, szorzata P, n≥3.
Bizonyítsuk be, hogy
n∑i=11S−ai<n−1√SP.
I. Megoldás.
n∑i=11S−ai=1n−1n∑i=1n−1S−ai≤1n−1n∑i=1(aiP)1n−1=1P1n−1∑ni=1a1n−1in−1
tagonként használtuk a számtani-mértani közepet illetve annak reciprokát. Elég megmutatni, hogy
∑ni=1a1n−1in−1≤S1n−1
Ez pedig következik a hatványközepek közti egyenlőtlenségből, mivel 1n−1<1 ezért
(∑ni=1a1n−1in)n−1≤∑ni=1ain=Sn
Tehát elég belátni, hogy \(\displaystyle n^{\frac{n-2}{n-1}}
II. Megoldás Használjuk a következő egyenlőtlenséget. Legyen xi,yi,zi>0 ha 1≤i≤n és α, β, γ olyan pozitív számok, melyek összege 1. Ekkor
xα1yβ1zγ1+⋯+xαnyβnzγn≤(n∑i=1xi)α(n∑i=1yi)β(n∑i=1zi)γ
Ennek bizonyítása úgy megy, hogy leosztunk a jobb oldallal, majd tagonként használunk egy súlyozott számtani-mértani egyenlőtlenséget (részleteket lásd Sklarszkij-Csencov-Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből Aritmetika és algebra című könyvének 304. feladatánál.)
Most legyen xi=Pai(S−ai)n−1, yi=aiP, zi=1, α=1n−1, β=1n−1, γ=n−3n−1. Ekkor xαiyβizγi=1/(S−ai), továbbá n∑i=1yi=SP. Számtani-mértani egyenlőtlenség miatt xi≤1(n−1)n−1. Tehát alkalmazva a fenti egyenlőtlenséget kapjuk, hogy
n∑i=11S−ai≤(n∑i=1xi)1n−1(SP)1n−1nn−3n−1≤(SP)1n−1nn−3n−1(n⋅1(n−1)n−1)1n−1<n−1√SP
Az utolsó egynlőtlenséghez elég megmutatni, hogy \(\displaystyle n^{\frac{n-2}{n-1}}
A. 352. Az ABC nem egyenlő szárú háromszög körülírt köre legyen k. Az ABC háromszög C-nél levő belső szögfelezője messe a k kör B-beli érintőjét K-ban, míg a C-nél levő külső szögfelező C-től különböző metszéspontja k-val L. Legyen az AC és LB egyenesek metszéspontja M. Mutassuk meg, hogy az MK egyenes átmegy az AB oldal felezőpontján.
Megoldás. Legyen F az AB oldal felezőpontja, T pedig a k kör és a CK szögfelező metszéspontja. A T és L pontok a C-ből induló szögfelezők és a kör metszéspontjai, azaz a két AB körív felezőpontjai. A TL szakasz tehát az AB oldal felező merőlegese, amely átmegy F-en.
Alkalmazzuk a Pascal-tételt a BBACTL hatszögre. A B-beli érintő és a vele szemközti CT oldal metszéspontja K, a szemközti BA és TL oldalak metszéspontja F, az AC és LB oldalak metszéspontja M. A Pascal-tétel szerint ezek egy egyenesen vannak. Az MK egyenes tehát átmegy F-en.
Fórum: