A 2004. szeptemberi C-jelű matematika gyakorlatok megoldása

A közöltek csak megoldásvázlatok, esetleg csak végeredmények. A maximális pontszám eléréséhez általában ennél részletesebb megoldás szükséges. A részletes megoldásokat a beküldött dolgozatok alapján a KöMaL-ban folyamatosan közöljük.

C. 770. Egy 35 fős osztály tanulói két csoportba oszthatók: a kockafejűekre és az égimeszelőkre. Az égimeszelők állítják, hogy magasabbak a kockafejűeknél, akik viszont jobb matekosnak tartják magukat. Egyikük egyszer azt kérdezte egy égimeszelőtől: ,,Mit értetek azon, hogy ti magasabbak vagytok nálunk? Talán azt, hogy

1. Minden égimeszelő magasabb valamennyi kockafejűnél?

2. A legmagasabb égimeszelő magasabb a legmagasabb kockafejűnél?

3. Minden égimeszelő magasabb valamelyik kockafejűnél?

4. Minden kockafejű alacsonyabb valamelyik égimeszelőnél?

5. A legalacsonyabb kockafejű alacsonyabb a legalacsonyabb égimeszelőnél?''

A kérdések hallatán az égimeszelő szemmel láthatóan összezsugorodott ... A feladat viszont az, hogy megállapítsuk, milyen viszonyban állnak a fenti kijelentések, azaz bármely két állítás esetén döntsük el, következik-e egyikükből a másik.

(Hugo Steinhaus nyomán)

Megoldás.

2-ből következik 4., 4-ből következik 2. Így 2. és 4. ugyanazt jelenti. Továbbá 3-ból következik 5., 5-ből következik 3. Vagyis 3. és 5. ugyanazt jelenti.

2-ből (tehát 4-ből) sem következik 3. (tehát 5. sem); 3-ból (így 5-ből) sem következik 2. (azaz 4. sem).

1-ből mindegyik állítás következik.

C. 771. Matekváros és Fizikaváros különböző időzónában találhatók. Egy repülő helyi idő szerint reggel 8-kor indul Fizikavárosból, és még aznap helyi idő szerint délben érkezik Matekvárosba. A járat két óra múlva visszaindul és ugyancsak helyi idő szerint este 8 órakor érkezik Fizikavárosba. Az utazás mindkét irányban ugyanannyi ideig tart. Mennyi az idő Fizikavárosban akkor, amikor Matekvárosban dél van?

Megoldás. Odafelé 4 óra az út (időeltolódással), visszafelé 6. Ezért a két város között 1 óra az időeltolódás (amit megnyer odafelé, elveszít visszafelé, ezért fele a különbségnek). Az út valójában 5 óráig tart. Fizikavárosból Matekvárosba megy a gép, ott a Fizikavárosi 13 óra helyett 12 órát írnak.

C. 772. Történt egyszer egy matematikaórán, hogy egy diák az (a+2b-3)² négyzetre emelést rosszul végezte el, és a²+4b²-9 lett az eredménye. Tanára kérésére ellenőrzésképpen behelyettesített a és b helyére egy-egy természetes számot. A behelyettesítés után az eredmény helyesnek bizonyult. Mely számokat helyettesíthette a tanuló?

Megoldás. A helyes eredmény és a kapott eredmény eltérése: 4ab-12b-6a+18 a behelyettesített értékre 0.

4ab-12b-6a+18=0, azaz 2ab-6b-3a+9=0. Szorzattá alakítva: (2b-3)(a-3)=0. Ebből a=3 vagy b=-3/2, ami nem természetes szám.

a=3 és b tetszőleges természetes szám lehetett.

C. 773. Egy trapéz alakú földdarab párhuzamos oldalai 2100 méter és 1500 méter, a szárak hossza pedig 613 méter és 37 méter. Hány négyszögöl a telek területe?

Megoldás.

m²=613²-x²,

m²=37²-(600-x)²,

ebből x=612. Tehát a telek valójában így néz ki:

A trapéz magassága: \(\displaystyle \sqrt{613^2-612^2}=35\) méter,

területe pedig 1/2^.(1500+2100)^.35=63000 m², ami kb. 17548,7 négyszögöl.

C. 774. Mekkora területű a derékszögű koordinátarendszerben azoknak a P(x;y) pontoknak a halmaza, amelyekre teljesül, hogy |x+y|+|x-y|\(\displaystyle \le\)4?

Megoldás. A kifejezés a koordináta-rendszer mind a 4 síknegyedében ugyanakkora területet fed le.

Ha x>0, y>0, x>y, akkor |x+y|+|x-y|=x+y+x-y=2x\(\displaystyle \le\)4, x\(\displaystyle \le\)2; ennek a síkrésznek a területe 2 területegység.

Ha x>0, y>0, x<y, akkor |x+y|+|x-y|=x+y+y-x=2y\(\displaystyle \le\)4, y\(\displaystyle \le\)2; ennek a síkrésznek a területe is 2 területegység.

A megoldáshalmaz 16 területegységet fed le.