Az A. 430. feladat (2007. május)

A. 430. Legyen n $\ge$ 2 és $u_1=1,u_2,\ldots,u_n$ legfeljebb 1 abszolút értékű komplex számok, továbbá legyen

f(x)=(x-u₁)(x-u₂)^...(x-u_n).

Igazoljuk, hogy az f'(x) polinomnak létezik olyan komplex gyöke, aminek a valós része nemnegatív.

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha az 1 többszörös gyöke f-nek, akkor f'(1)=0 és az állítás triviális. Ezért a továbbiakban feltételezzük, hogy u₂,...,u_n egyike sem 1.

Legyenek f'(x) gyökei v₁,v₂...,v_n-1 és tekintsük a g(x)=f(1-x)=a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ polinomot.

A g(x) polinom gyökei 0,1-u₂,...,1-u_n. A Viéta-formulákból kifejezve a 0-tól különböző gyökök reciprokösszegét,

$\sum_{k=2}^m \frac1{1-u_k} = \frac{u_2\ldots u_{n-1}+\ldots+u_3\ldots u_n}{u_2\ldots u_n} = -\frac{a_2}{a_1}.$

Az f'(1-x)=-g'(x)=-a₁-2a₂x-...-na_nx^n-1 polinom gyökei 1-v₁,...,1-v_n-1; ezek reciprokösszege pedig

$\sum_{\ell=1}^{n-1} \frac1{1-v_\ell} = \frac{v_1\ldots v_{n-2}+\ldots+v_2\ldots v_{n-1}}{v_1\ldots v_{n-1}} = -\frac{2a_2}{a_1}.$

A két egyenletet összevetve,

$\sum_{\ell=1}^{n-1} \frac1{1-v_\ell} = 2\sum_{k=2}^m \frac1{1-u_k}.$

Minden egyes k-ra u_k az egységkörben vagy annak határán van, 1-u_k pedig az 1 középpontú, egységnyi sugarú körben (vagy a határán). A reciprokképzés megfelel egy 0 pólusú inverzió és a valós tengelyre való tükrözés egymás utánjának. Ezért $\frac1{1-u_k}$ a $\mathrm{Re~}z\ge\frac12$ félsíkban van, $\mathrm{Re}\frac1{1-u_k}\ge\frac12$ .

Ezt összegezve kapjuk, hogy

$\max\limits_{1\le\ell\le n-1} \mathrm{Re}\frac1{1-v_\ell} \ge \frac1{n-1}\sum_{\ell=1}^{n-1} \mathrm{Re}\frac1{1-v_\ell} = \frac2{n-1}\sum_{k=2}^m \mathrm{Re}\frac1{1-u_k} \ge 1,$

vagyis legalább az egyik $\frac1{1-v_\ell}$ a $\mathrm{Re~}z\ge1$ félsíkba esik.

Az előbbi geometriai okoskodást visszafelé is elvégezve,

$\mathrm{Re}\frac1{1-v_\ell}\ge1 \iff \bigg|(1-v_\ell)-\frac12\bigg|\le\frac12 \iff \bigg|v_\ell-\frac12 \bigg|\le\frac12 \Longrightarrow \mathrm{Re}~v_\ell\ge0.$

Statisztika:

3 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Tomon István.

4 pontot kapott: Nagy 235 János.

Nem versenyszerű: 1 dolgozat.

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai

3 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Tomon István.
4 pontot kapott:	Nagy 235 János.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?