Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

Az A. 545. feladat (2011. november)

A. 545. Bizonyítsuk be, hogy ha a>b>1 egész számok, ab+1 osztható (a+b)-vel és ab-1 osztható (a-b)-vel, akkor a<b\sqrt3.

Kolmogorov kupa, 2009

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. december 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel b2-1=b(a+b)-(ab+1)\equiv0 (mod  (a+b)) és b2-1=-b(a-b)+(ab-1)\equiv0 (mod  (a-b)), a+b és a-b is osztója (b2-1)-nek. Tehát b2-1 osztható a+b és a-b legkisebb közös többszörösével. A feltételek szerint b2-1 és a-b is pozitív egészek, ezért ebből következik, hogy

[a+b,a-b]\leb2-1.(1)

Megmutatjuk, hogy a és b relatív prímek, továbbá a+b és a-b legnagyobb közös osztója legfeljebb 2. Legyen d=(a,b). Ekkor d|a|ab és d|a+b|ab+1, tehát d|(ab+1)-ab=1, azaz d=1. Ezután legyen e=(a+b,a-b). Ekkor e|(a+b)+(a-b)=2a és e|(a+b)-(a-b)=2b miatt e|(2a,2b)=2(a,b)=2. Tehát e\le2.

Az [x,y]=\frac{xy}{(x.y)} azonosságból

[a+b,a-b] = \frac{(a+b)(a-b)}{(a+b,a-b)} \ge \frac{a^2-b^2}{2}.

Ezt (1)-gyel kombinálva,

\frac{a^2-b^2}2 \le b^2-1

a2\le3b2-2<3b2

a < b\sqrt3.

Statisztika:

9 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Kovács 444 Áron, Mester Márton, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter, Szabó 928 Attila.
0 pontot kapott:1 versenyző.

A KöMaL 2011. novemberi matematika feladatai