Az A. 551. feladat (2012. január)

A. 551. Mutassuk meg, hogy végtelen sok olyan, pozitív egészekből álló (a,b) pár létezik, amire ab+1 osztható (a+b)-vel, ab-1 osztható (a-b)-vel, b>1 és ${a>b\sqrt3-1}$ .

(Megjegyzés. A nyomtatott számban feladat szövegéből kimaradt a b>1 feltétel.)

(5 pont)

A beküldési határidő 2012. február 10-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Az A. 545. feladat megoldása alapján olyan a,b pozitív egészeket érdemes keresni, amikre

a²-3b²=-2.

(1)

Ha az (a,b) pár megoldása (1)-nek, akkor a és b azonos paritásúak (sőt, mindkettő páratlan),

$ab+1 = ab+\frac{3b^2-a^2}2 = (a+b)\frac{3b-a}2$ , tehát a+b|ab+1,

továbbá

$ab-1 = ab-\frac{3b^2-a^2}2 = (a-b)\frac{a+3b}2$ , tehát a-b|ab-1;

végül

$\sqrt3 b = \sqrt{a^2+2} < \sqrt{a^2+2a+1} = a+1$ , tehát $a>\sqrt3b-1$ .

Az (1) Pell-típusú egyenletnek végtelen sok pozitív egész megoldása van, ezeket a következő alakban kaphatjuk meg:

$a_n\pm b_n\sqrt3 = \big(1\pm \sqrt3\big)\cdot\big(2\pm \sqrt3\big)^n,$

$\matrix{ a_n = \dfrac{ \big(1+\sqrt3\big)\cdot\big(2+\sqrt3\big)^n+ \big(1-\sqrt3\big)\cdot\big(2-\sqrt3\big)^n}2, & \cr b_n = \dfrac{ \big(1+\sqrt3\big)\cdot\big(2+\sqrt3\big)^n- \big(1-\sqrt3\big)\cdot\big(2-\sqrt3\big)^n}{2\sqrt3} & (n=0,1,2,\ldots).}$

(Ugyanezeket kaphatjuk az a₀=b₀=1, a_n+1=2a_n+3b_n, b_n+1=a_n+2b_n rekurzióból.)

n $\ge$ 1 esetén b_n>1.

Statisztika:

7 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Mester Márton, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás.

A KöMaL 2012. januári matematika feladatai

7 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Gyarmati Máté, Janzer Olivér, Mester Márton, Omer Cerrahoglu, Strenner Péter, Szabó 789 Barnabás.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?