Az A. 598. feladat (2013. október)

A. 598. Jelöljük u_n-nel az n-edik Fibonacci-számot (u₁=u₂=1, u_n+1=u_n+u_n-1). Igazoljuk, hogy ha a,b,c>1 olyan egész számok, amelyekre a osztója u_b-nek, b osztója u_c-nek, és c osztója u_a-nak, akkor a, b és c osztható 5-tel, vagy a, b és c osztható 12-vel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2013. november 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Tetszőleges m-re az m-mel osztható Fibonacci-számok indexei egy számtani sorozatot alkotnak, amelyben a 0 is szerepel; jelöljük ennek differenciáját d_m-mel. Könnyű ellenőrizni, hogy d₂=3, d₃=4, d₄=6, d₅=5, d₆=12 és d₁₂=12.

Ha a,b,c között van 5-tel osztható, mondjuk 5|a, akkor

vagyis a,b,c mindegyike osztható 5-tel.

Ha a,b,c között van 3-mal osztható, mondjuk 3|a, akkor

$3\big|a\big|u_b ~\Rightarrow~ 4=d_3\big|b\big|u_c ~\Rightarrow~ 6=d_4\big|c\big|u_a ~\Rightarrow~ 12=d_6\big|a\big|u_b ~\Rightarrow~ 12=d_{12}\big|b\big|u_c ~\Rightarrow~ 12=d_{12}\big|c\big|u_a,$

vagyis a,b,c mindegyike osztható 12-vel.

Ha a,b,c között van páros, mondjuk 2|a, akkor 2|a|u_b miatt 3=d₂|b, tehát a számok között van 3-mal osztható is, az előző bekezdés szerint tehát a,b,c is osztható 12-vel.

A továbbiakban feltételezzük, hogy abc legkisebb prímosztója p $\ge$ 7. Az a,b,c szerepének szimmetriája miatt feltehetjük, hogy p|a.

A d_p szám osztója az úgynevezett $\pi$ (p) Pisano-periódusnak. Az is ismert, hogy ha p prím és p $\ne$ 5, akkor $\pi$ (p)|p²-1, tehát d_p| $\pi$ (p)|p²-1 és így

p|u_{d_p}|u_p²-1.

(Általánosabban, ha $p\equiv\pm1\pmod5$ , akkor d_p|p-1, $p\equiv\pm2\pmod5$ esetén pedig d_p|p+1.)

Másrészt

p|a|u_b,

amiből

p|gcd(u_p²-1,u_b)=u_gcd(p²-1,b).

A b szám mindegyik prímosztója p, vagy legalább p+2, ezek egyike sem osztója p²-1=(p-1)(p+1)=nek. Ezért u_gcd(p²-1,b)=u₁=1, azaz p|1, ami ellentmondás. Ez az eset tehát nem lehetséges.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Fehér Zsombor, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2013. októberi matematika feladatai

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fehér Zsombor, Maga Balázs, Nagy Bence Kristóf, Simon 047 Péter, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Tossenberger Tamás, Williams Kada.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?