Az A. 628. feladat (2014. november)

A. 628. Igaz-e, hogy minden olyan $\displaystyle x_1,x_2,\ldots$, egész számokból álló végtelen sorozathoz, amelyre $\displaystyle |x_{k+1}-x_k|=1$ minden $\displaystyle k$ pozitív egészre, létezik pozitív egészeknek egy $\displaystyle k_1<k_2<\ldots<k_{2014}$ sorozata úgy, hogy az $\displaystyle k_1,k_2,\ldots,k_{2014}$ indexek és az $\displaystyle x_{k_1},x_{k_2},\ldots,x_{k_{2014}}$ számok is (ebben a sorrendben) számtani sorozatot alkotnak?

Javasolta: Csóka Endre (Warwick) és Ben Green (Oxford)

(5 pont)

A beküldési határidő 2014. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A válasz NEM. Mutatunk egy olyan sorozatot, amelyben a szomszédos tagok különbsége $\displaystyle \pm1$, de a sorozathoz nem léteznek megfelelő $\displaystyle k_1<\ldots<k_{2014}$ indexek.

Legyen

$\displaystyle f(t) = \sum_{n=1}^\infty 50^n \sin\frac{t}{100^n}$

(a sor minden valós $\displaystyle t$ számra konvergens, mert $\displaystyle \left|50^n \sin\frac{t}{100^n}\right|<\frac{|t|}{2^n}$), és minden $\displaystyle k$ pozitív egészre legyen $\displaystyle x_k$ egy olyan egész szám, aminek paritása megegyezik $\displaystyle k$ paritásával és $\displaystyle \big|x_k-f(k)\big|\le1$. Azt állítjuk, hogy ez a sorozat megfelelő.

Először is igazoljuk, hogy $\displaystyle |x_{k+1}-x_k|=1$. Jól ismert, hogy különböző $\displaystyle u,v$ valós számok esetén $\displaystyle \big|\sin u-\sin v\big|<|u-v|$, így

$\displaystyle \big|f(u)-f(v)\big| = \left| \sum_{n=1}^\infty 50^n \bigg(\sin\frac{u}{100^n}-\sin\frac{u}{100^n}\bigg)\right| \le \sum_{n=1}^\infty 50^n \left| \sin\frac{u}{100^n}-\sin\frac{u}{100^n}\right| <$

$\displaystyle < \sum_{n=1}^\infty 50^n \frac{|u-v|}{100^n} = |u-v| \sum_{n=1}^\infty \left(\frac12\right)^n = |u-v|.$

Az $\displaystyle u=k$, $\displaystyle v=k+1$ esetben ezért

$\displaystyle |x_k-x_{k+1}| \le \big|x_k-f(k)\big| + \big|f(k)-f(k+1)\big| + \big|f(k+1)-x_{k+1}\big| < 1+1+1 = 3.$

Mivel $\displaystyle x_k$ és $\displaystyle x_{k+1}$ ellentétes paritású, ebből következik, hogy $\displaystyle |x_k-x_{k+1}|=1$.

Tekintsünk most egy $\displaystyle k_1<\ldots<k_{2014}$ számtani sorozatot, amelynek differenciája $\displaystyle d$. A $\displaystyle d$ szám két szomszédos $\displaystyle 100$-hatvány közé esik; van egy olyan $\displaystyle m$ pozitív egész, amelyre $\displaystyle 100^{m-1}\le d \le 100^m$. Legyen $\displaystyle h$ a legnagyobb pozitív egész, amire $\displaystyle hd\le 100^m$; ekkor biztosan $\displaystyle h\le100$ és

$\displaystyle \frac{100^m}2 < hd \le 100^m.$

A $\displaystyle \frac{k_{101}}{100^m}, \frac{k_{102}}{100^m}, \ldots, \frac{k_{800}}{100^m}$ számok egy olyan számtani sorozatot alkotnak, amelynek differenciája legfeljebb $\displaystyle 1$, az első és az utolsó tag különbsége nagyobb, mint $\displaystyle 2\pi$, ezért van olyan $\displaystyle 101\le i\le 800$ index, amire a $\displaystyle \frac{k_i}{100^m}$ modulo $\displaystyle 2\pi$ vett maradéka $\displaystyle \frac\pi3$ és $\displaystyle \frac{2\pi}3$ között van; erre az indexre $\displaystyle \sin\frac{k_i}{100^m}>\sin\frac\pi3$. Válasszunk ki egy ilyen $\displaystyle i$ indexet, és vizsgáljuk a

$\displaystyle \Delta = (x_{k_i+hd} - x_{k_i}) - (x_{k_i} - x_{k_i-hd}) = x_{k_i+hd} - 2x_{k_i} + x_{k_i-hd}$

számot. Ha az $\displaystyle x_{k_i-hd}, x_{k_i}, x_{k_i+hd}$ számok számtani sorozatot alkotnak, akkor $\displaystyle \Delta=0$. A továbbakban megmutatjuk, hogy $\displaystyle \Delta\ne0$. Az egyszerűség kedvéért vezessük be a $\displaystyle K=k_i$ és $\displaystyle D=hd$ jelöléseket. Ekkor tehát $\displaystyle \frac12<\frac{D}{100^m}\le1$, $\displaystyle 1\le K-D < K < K+D \le 900$, és

$\displaystyle \Delta = x_{K+D} - 2x_K + x_{X-D}.$

Írjuk be a sorozat definícióját, és írjuk fel $\displaystyle \Delta$-t $\displaystyle f$-fel, tagonként. Az $\displaystyle m$-edig taggal becsülünk alulról.

$\displaystyle |\Delta| \ge \big| f(K+D) - 2f(K) + f(K-D) \big| - 4 = \left| \sum_{n=1}^\infty 50^n\bigg(\sin\frac{K+D}{100^n}-2\sin\frac{K}{100^n}+\sin\frac{K-D}{100^n}\bigg)\right| -4 \ge$

$\displaystyle \ge 50^m\bigg|\sin\frac{K+D}{100^m}-2\sin\frac{K}{100^m}+\sin\frac{K-D}{100^m}\bigg| -$

A

$\displaystyle \sin(a+b)-2\sin a +\sin(a-b) = \big(\sin(a+b)-\sin a\big)-\big(\sin a-\sin(a-b)\big) =$

azonosságot felhasználva a következő alsó becslést kapjuk az $\displaystyle m$-edik tagra:

$\displaystyle 50^m\bigg|\sin\frac{K+D}{100^m}-2\sin\frac{K}{100^m}+\sin\frac{K-D}{100^m}\bigg| = 50^m \cdot 4\sin^2\frac{D}{2\cdot 100^m}\sin\frac{K}{100^m} >$

Szintén a (2) azonosság alapján

$\displaystyle \sum_{n=m+1}^\infty 50^n\bigg|\sin\frac{K+D}{100^n}-2\sin\frac{K}{100^n}+\sin\frac{K-D}{100^n}\bigg| = \sum_{n=m+1}^\infty 50^n \cdot 4\sin^2\frac{D}{2\cdot 100^n}\left|\sin\frac{K}{100^n}\right| <$

A kis indexű tagokban (amikor $\displaystyle n<m$) az összes szinusz értéket $\displaystyle 1$-gyel becsüljük:

$\displaystyle \sum_{n=1}^{m-1} 50^n\bigg|\sin\frac{K+D}{100^n}-2\sin\frac{K}{100^n}+\sin\frac{K-D}{100^n}\bigg| \le \sum_{n=1}^{m-1} 50^n \cdot 4 =$

Az (1)-be beírva a (3-5) becsléseket,

$\displaystyle |\Delta| > \frac{50^m}{5} - \frac{50^m}{100} - \frac{50^m}{10} - 4 = 50^m\cdot\frac{9}{100} - 4 > 0.$

Tehát $\displaystyle \Delta\ne0$, az $\displaystyle x_1,\ldots,x_{2014}$ számok nem alkothatnak számtani szorozatot.

Statisztika:

2 dolgozat érkezett.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2014. novemberi matematika feladatai