Az A. 630. feladat (2014. december)

A. 630. Az $\displaystyle ABCD$ konvex érintőnégyszögbe írt kör középpontja $\displaystyle I$. Az $\displaystyle AB$ és a $\displaystyle DC$ félegyenes az $\displaystyle F$ pontban, az $\displaystyle AD$ és a $\displaystyle BC$ félegyenes a $\displaystyle G$ pontban metszi egymást. Legyen $\displaystyle \mathcal{E}$ az a $\displaystyle F$, $\displaystyle G$ fókuszú ellipszis, amely átmegy a $\displaystyle B$ és $\displaystyle D$ pontokon, és legyen $\displaystyle \mathcal{H}$ az a $\displaystyle F$, $\displaystyle G$ fókuszú hiperbolaág, amely átmegy az $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ pontokon. Az $\displaystyle \mathcal{E}$ és $\displaystyle \mathcal{H}$ metszéspontjait jelölje $\displaystyle P$ és $\displaystyle Q$. Mutassuk meg, hogy a $\displaystyle P$, $\displaystyle Q$ és $\displaystyle I$ pontok egy egyenesen vannak.

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje $\displaystyle X$, $\displaystyle Y$, $\displaystyle U$, illetve $\displaystyle V$ az $\displaystyle ABCD$ körbe írt kör érintési pontjait az $\displaystyle AB$, az $\displaystyle AD$, a $\displaystyle BC$, illetve a $\displaystyle CD$ oldalon. A körhöz az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$, $\displaystyle D$, $\displaystyle F$, illetve $\displaystyle G$ pontokból húzott érintők egyenlők: $\displaystyle AX=AY$, $\displaystyle BX=BU$, $\displaystyle CU=CV,$ $\displaystyle DY=DV$, $\displaystyle FX=FV$, illetve $\displaystyle GY=GU$. Ezekből láthatjuk, hogy

$\displaystyle FB+GB = (FX-BX)+(GU+BU) = FX+GU = FV+GY = (FV+DV)+(GY-DY) = FD+GD,$

így a $\displaystyle B$ és $\displaystyle D$ valóban ugyanazon az $\displaystyle F,G$ fókuszú $\displaystyle \mathcal{E}$ ellipszisen van, és hasonlóan

$\displaystyle FA-GA = (FX+AX)-(GY+AY) = FX-GY = FV-GU = (FC+CV)-(GC+CU) = FC-GC,$

így $\displaystyle A$ és $\displaystyle C$ is ugyanazon az $\displaystyle F,G$ fókuszú $\displaystyle \mathcal{H}$ (esetleg egyenessé fajuló) hiperbolágon van.

Az $\displaystyle P$ pont mindkét kúpszeleten rajta van, így

$\displaystyle FP + GP = FB + GB = (FX-BX)+(GU+BU) = FX + GU = FX + GY,$

és

$\displaystyle FP - GP = FA - GA = (FX+AX)-(GY+AY) = FX - GY.$

A két egyenlet összegéből és különbségéből kapjuk, hogy $\displaystyle FP=FX$ és $\displaystyle GP=GY$. Ugyanez a $\displaystyle P$ helyett a $\displaystyle Q$ pontra is elmondható, tehát $\displaystyle FP=FQ=FX=FV$ és $\displaystyle GP=GQ=GY=GU$. A $\displaystyle P,Q,X,V$ pontok tehát egy $\displaystyle F$ középpontú $\displaystyle k_F$ körön, továbbá a $\displaystyle P,Q,Y,V$ pontok egy $\displaystyle G$ középpontú $\displaystyle k_G$ körön vannak. A $\displaystyle PQ$ egyenes a $\displaystyle k_F$ és a $\displaystyle k_G$ kör hatványvonala.

A beírt kör $\displaystyle IX$, illetve $\displaystyle IY$ sugara merőleges az $\displaystyle AB$, illetve az $\displaystyle AD$ egyenesre, ezért érinti a $\displaystyle k_F$, illetve a $\displaystyle k_G$ kört. De mivel $\displaystyle IX=IY$, ez azt jelenti, hogy az $\displaystyle I$ pontból ugyanolyan hosszú érintő húzható a a $\displaystyle k_F$ és a $\displaystyle k_G$ körhöz, tehát az $\displaystyle I$ pont is rajta van a két kör $\displaystyle PQ$ hatványvonalán.

Ezzel beláttuk, hogy a $\displaystyle I$ pont rajta van a $\displaystyle PQ$ egyenesen.

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Lajkó Kálmán, Nagy-György Pál, Papp 893 Marcell, Saranesh Prembabu, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Williams Kada.

A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai