 |
Az A. 630. feladat (2014. december) |
A. 630. Az \(\displaystyle ABCD\) konvex érintőnégyszögbe írt kör középpontja \(\displaystyle I\). Az \(\displaystyle AB\) és a \(\displaystyle DC\) félegyenes az \(\displaystyle F\) pontban, az \(\displaystyle AD\) és a \(\displaystyle BC\) félegyenes a \(\displaystyle G\) pontban metszi egymást. Legyen \(\displaystyle \mathcal{E}\) az a \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) fókuszú ellipszis, amely átmegy a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) pontokon, és legyen \(\displaystyle \mathcal{H}\) az a \(\displaystyle F\), \(\displaystyle G\) fókuszú hiperbolaág, amely átmegy az \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) pontokon. Az \(\displaystyle \mathcal{E}\) és \(\displaystyle \mathcal{H}\) metszéspontjait jelölje \(\displaystyle P\) és \(\displaystyle Q\). Mutassuk meg, hogy a \(\displaystyle P\), \(\displaystyle Q\) és \(\displaystyle I\) pontok egy egyenesen vannak.
(5 pont)
A beküldési határidő 2015. január 12-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje \(\displaystyle X\), \(\displaystyle Y\), \(\displaystyle U\), illetve \(\displaystyle V\) az \(\displaystyle ABCD\) körbe írt kör érintési pontjait az \(\displaystyle AB\), az \(\displaystyle AD\), a \(\displaystyle BC\), illetve a \(\displaystyle CD\) oldalon. A körhöz az \(\displaystyle A\), \(\displaystyle B\), \(\displaystyle C\), \(\displaystyle D\), \(\displaystyle F\), illetve \(\displaystyle G\) pontokból húzott érintők egyenlők: \(\displaystyle AX=AY\), \(\displaystyle BX=BU\), \(\displaystyle CU=CV,\) \(\displaystyle DY=DV\), \(\displaystyle FX=FV\), illetve \(\displaystyle GY=GU\). Ezekből láthatjuk, hogy
\(\displaystyle FB+GB = (FX-BX)+(GU+BU) = FX+GU = FV+GY = (FV+DV)+(GY-DY) = FD+GD, \)
így a \(\displaystyle B\) és \(\displaystyle D\) valóban ugyanazon az \(\displaystyle F,G\) fókuszú \(\displaystyle \mathcal{E}\) ellipszisen van, és hasonlóan
\(\displaystyle FA-GA = (FX+AX)-(GY+AY) = FX-GY = FV-GU = (FC+CV)-(GC+CU) = FC-GC, \)
így \(\displaystyle A\) és \(\displaystyle C\) is ugyanazon az \(\displaystyle F,G\) fókuszú \(\displaystyle \mathcal{H}\) (esetleg egyenessé fajuló) hiperbolágon van.
Az \(\displaystyle P\) pont mindkét kúpszeleten rajta van, így
\(\displaystyle FP + GP = FB + GB = (FX-BX)+(GU+BU) = FX + GU = FX + GY, \)
és
\(\displaystyle FP - GP = FA - GA = (FX+AX)-(GY+AY) = FX - GY. \)
A két egyenlet összegéből és különbségéből kapjuk, hogy \(\displaystyle FP=FX\) és \(\displaystyle GP=GY\). Ugyanez a \(\displaystyle P\) helyett a \(\displaystyle Q\) pontra is elmondható, tehát \(\displaystyle FP=FQ=FX=FV\) és \(\displaystyle GP=GQ=GY=GU\). A \(\displaystyle P,Q,X,V\) pontok tehát egy \(\displaystyle F\) középpontú \(\displaystyle k_F\) körön, továbbá a \(\displaystyle P,Q,Y,V\) pontok egy \(\displaystyle G\) középpontú \(\displaystyle k_G\) körön vannak. A \(\displaystyle PQ\) egyenes a \(\displaystyle k_F\) és a \(\displaystyle k_G\) kör hatványvonala.
A beírt kör \(\displaystyle IX\), illetve \(\displaystyle IY\) sugara merőleges az \(\displaystyle AB\), illetve az \(\displaystyle AD\) egyenesre, ezért érinti a \(\displaystyle k_F\), illetve a \(\displaystyle k_G\) kört. De mivel \(\displaystyle IX=IY\), ez azt jelenti, hogy az \(\displaystyle I\) pontból ugyanolyan hosszú érintő húzható a a \(\displaystyle k_F\) és a \(\displaystyle k_G\) körhöz, tehát az \(\displaystyle I\) pont is rajta van a két kör \(\displaystyle PQ\) hatványvonalán.
Ezzel beláttuk, hogy a \(\displaystyle I\) pont rajta van a \(\displaystyle PQ\) egyenesen.
Statisztika:
10 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Lajkó Kálmán, Nagy-György Pál, Papp 893 Marcell, Saranesh Prembabu, Szabó 789 Barnabás, Szőke Tamás, Williams Kada.
A KöMaL 2014. decemberi matematika feladatai