Az A. 642. feladat (2015. április)

A. 642. Legyen $\displaystyle n\ge3$, és legyenek $\displaystyle x_1,\ldots,x_n$ nemnegatív számok, továbbá legyen $\displaystyle A=\sum_{i=1}^n x_i$, $\displaystyle B=\sum_{i=1}^n x_i^2$ és $\displaystyle C=\sum_{i=1}^n x_i^3$. Igazoljuk, hogy

$\displaystyle (n+1)A^2B + (n-2)B^2 \ge A^4 + (2n-2)AC.$

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. május 11-én LEJÁRT.

Megoldásvázlat. Legyen

$\displaystyle p(X) = \prod_{i=1}^n (X-x_i) = X^n - A X^{n-1} + \frac{A^2-B}2 X^{n-2} -\frac{A^3-3AB+2C}6 X^{n-3}+ \dots.$

A $\displaystyle p$ polinom $\displaystyle (n-3)$-adik deriváltjának három nemnegatív gyöke van, legyenek ezek $\displaystyle 0\le u\le v\le w$. Így

$\displaystyle \frac6{n!} p^{(n-3)}(X) = X^3 - \frac{3A}n X^2 + \frac{3(A^2-B)}{n(n-1)} X - \frac{A^3-3AB+2C}{n(n-1)(n-2)} = (X-u)(X-v)(X-w),$

tehát

$\displaystyle u+v+w = \frac{3A}n, \quad uv+vw+wu = \frac{3(A^2-B)}{n(n-1)} \quad\text{és}\quad uvw = \frac{A^3-3AB+2C}{n(n-1)(n-2)}.$

Ebből láthatjuk, hogy

$\displaystyle \frac{n^2(n-1)^2(n-2)}9 (LHS - RHS) = \ldots = u^2v^2+v^2w^2+w^2u^2 - uvw(u+v+w) =$

$\displaystyle = uv(u-w)(v-w) + vw(v-u)(w-u) + wu(w-v)(u-v) \ge$

$\displaystyle \ge 0 + uw(v-u)(w-v) + wu(w-v)(u-v) = 0.$

Statisztika:

10 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csépai András, Di Giovanni Márk, Fehér Zsombor, Janzer Barnabás, Schrettner Bálint, Szabó 789 Barnabás, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Adnan Ali, Glasznova Maja.
3 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2015. áprilisi matematika feladatai