Az A. 652. feladat (2015. október)

A. 652. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan $\displaystyle C>1$ szám, amelyre a következő tulajdonság teljesül: valahányszor $\displaystyle n>1$, és $\displaystyle a_0<a_1<\ldots<a_n$ olyan pozitív egészek, amelyekre az $\displaystyle \frac1{a_0},\frac1{a_1},\ldots,\frac1{a_n}$ számok számtani sorozatot alkotnak, $\displaystyle a_0> C^n$.

CIIM 2015, Mexikó

(5 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tegyük fel, hogy $\displaystyle a_0<a_1<\ldots<a_n$ olyan pozitív egészek, amelyekre $\displaystyle \frac1{a_0},\frac1{a_1},\ldots,\frac1{a_n}$ számtani sorozatot alkotnak. A kényelmesebb számolás érdekében legyen $\displaystyle x_i=\tfrac1{a_i}$ és $\displaystyle \Delta=x_0-x_1=x_1-x_2=\ldots=x_{n-1}-x_n$.

Először $\displaystyle k$ szerinti indukcióval igazoljuk, hogy

$\displaystyle k=0$-ra ez triviális. Az indukciós fetevést alkalmazzuk az $\displaystyle (a_0,\ldots,a_k)$ és az $\displaystyle (a_1,\ldots,a_{k+1})$ sorozatra is:

$\displaystyle \sum_{\ell=0}^{k+1}(-1)^{k+1-\ell}\binom{k+1}{\ell} a_\ell = \left(\sum_{\ell=0}^{k}(-1)^{k-\ell}\binom{k}{\ell} a_\ell\right) - \left(\sum_{\ell=0}^{k}(-1)^{k-\ell}\binom{k}{\ell} a_{\ell+1}\right) =$

$\displaystyle = \frac{k! \cdot \Delta^k}{x_0x_1\cdots x_k} - \frac{k! \cdot \Delta^k}{x_1x_2\cdots x_{k+1}} = \frac{k! \cdot \Delta^k \cdot (x_0-x_{k+1})}{x_0x_1\cdots x_{k+1}} = \frac{(k+1)! \cdot \Delta^{k+1}}{x_0x_1\cdots x_{k+1}}.$

Végül, vegyük észre, hogy a bal oldalon egy egész szám áll, így az, hogy a bal oldal pozitív, ekvivalens azzal, hogy legalább $\displaystyle 1$.

A következő állításunk az, hogy

Vizsgáljuk a következő számot:

$\displaystyle \Sigma = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \left( \sum_{\ell=0}^k(-1)^{k-\ell}\binom{k}{\ell} a_\ell \right).$

Az első tag (ahol $\displaystyle k=0$) éppen $\displaystyle a_0$. A többi tagot becsüljük (1)-gyel:

Másfelől, felcserélve a szummákat,

$\displaystyle \Sigma = \sum_{\ell=0}^m a_\ell \left( \sum_{k=\ell}^m (-1)^{k-\ell} \binom{m}{k} \binom{k}{\ell} \right) = \sum_{\ell=0}^m a_\ell \binom{m}{\ell} \left( \sum_{k=\ell}^m (-1)^{k-\ell} \binom{m-\ell}{k-\ell} \right).$

$\displaystyle \ell<m$-re az utolsó összeg $\displaystyle (1-1)^{m-\ell}=0$ a binomiális tétel miatt. $\displaystyle \ell=m$-re pedig ez az összeg $\displaystyle 1$. Tehát $\displaystyle \Sigma=a_m$, és (3) bizonyítja (2)-t.

A feladat állításának bizonyításához írjunk $\displaystyle m=n-1$-et (2)-ben; azt kapjuk, hogy $\displaystyle a_{n-1}\ge a_0+2^{n-1}-1$. Az

$\displaystyle x_{n-1}>x_{n-1}-x_n = \frac{x_0-x_{n-1}}{n-1}$

egyenlőtlenségből pedig $\displaystyle n x_{n-1}>x_0$, vagyis $\displaystyle na_0>a_{n-1}$. Így

$\displaystyle n a_0 \ge a_{n-1}+1 \ge a_0+2^{n-1}$

Ha $\displaystyle n=2$, $\displaystyle n=3$, akkor (4) szerint $\displaystyle a_0\ge2$; ha $\displaystyle n=4$, akkor pedig $\displaystyle a_0\ge 3$.

Ha $\displaystyle n\ge5$, akkor $\displaystyle 2(n-1) = \binom{n}2 \frac4{n} \le \binom{n}2 \left(\frac9{10}\right)^2 < \left(1+\frac9{10}\right)^n$, így

$\displaystyle a_0 \ge \frac{2^{n-1}}{n-1} > \left(\frac{20}{19}\right)^n.$

Tehát,

$\displaystyle C = \min\left(\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{2},\sqrt[4]{3},\frac{20}{19}\right) = \frac{20}{19}$

egy megfelelő választás.

Megjegyzés. A (4) egyenlőtlenség tetszőleleges $\displaystyle C<2$ és elég nagy $\displaystyle n$ esetén bizonyítja az állítást.

Másfelől, az $\displaystyle a_i=\dfrac{\mathrm{lkkt}(1,2,\ldots,n+1)}{n+1-i}$ ($\displaystyle i=0,1,\ldots,n$) sorozat megfelel a feltételeknek. A prímszámtétel egy jól ismert alakja szerint $\displaystyle \log \mathrm{lkkt}(1,2,\ldots,n)\sim n$. Ez mutatja, hogy az állítás nem igaz (elegendően nagy $\displaystyle n$-re sem) $\displaystyle C>e$ esetén.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Baran Zsuzsanna, Williams Kada.
4 pontot kapott:	Lajkó Kálmán.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. októberi matematika feladatai